El camino en Q

Bibliografía: Matemática 7 Santillana

Logaritmos

La logaritmación es una operación entre dos números reales a y b, llamados argumento y base respectivamente.
El exponente x al que hay que elevar una base b para obtener un determinado número a se llama “logaritmo” de dicho número en esa base. Es decir:

 

b^x  = a entonces  x = log _b a

(donde a y b son números reales, b mayor 0, b distinto 1, a mayor o)

Ejemplos:

a)     Log ₂ 16 = 4 porque 2⁴ = 16        c) 2^x = 32 si y solo si x = log₂ 32 entonces x = 5

b)      Log₃  1/9 = -2 porque 3^-2 = 1/9    d) log₂ x = 3 entonces x = 2³ entonces x = 8

Actividad:

1) Calcular los siguientes logaritmos cuando sea posible y verificar los resultados aplicando la definición.

           a)      Log₄  64 =                                        d)    log₄ 0,5 =

           b)      Log₃  1/9 =                                       e)     log₂ (-4) =

           c)       Log₆  1 =                                          f)      log₇ 7 =

Logaritmo decimal. 

Si la base del logaritmo es 10, se llama logaritmo decimal y se puede escribir log, sin indicar la base. Este logaritmo aparece en las calculadoras científicas.

•  Utilicen la calculadora para calcular los siguientes logaritmos decimales.

a)    Log 9,8 =                                               c) log 980 =

b) Log 98 =                                                 d) log 9800 =

• Analizar los valores obtenidos y extrae una conclusión.

Propiedades de los Logaritmos.

                      1) Logaritmo de un producto:

                                                                     Log _a ( b . c ) = log _a b + log _a c

                     2) Logaritmo de un cociente:
                                                                     Log _a ( b : c ) = log _a b - log _a c

                3) Cambio de base:
                                                                     Log _a b = Log b : Log a
              
                     4) Logaritmo de una potencia:
                                                                     Log _a b ^x   = x . Log _a b

La propiedad de cambio de base nos permite transformar un logaritmo dado en cierta base en otro logaritmo
expresado en una base que nos convenga, por ejemplo, aquellas que aparecen en las calculadoras científicas.

Ecuaciones logarítmicas. 

Una ecuación es logarítmica cuando la incógnita esta afectada por la logaritmación.

Para resolver ciertas ecuaciones logarítmicas se debe aplicar la definición de dicha operación. Luego de obtener los valores de deben verificar, descartando aquellos que no cumplan con las condiciones de la logaritmación.

Utilizando lo aprendido podemos resolver expresiones que posean una incógnita llamadas ecuaciones logarítmicas.

1) Calcular los siguientes logaritmos.

a)      Log₃ 9 =                               c)   log₄ 7 =                          e)  log₇ 49 =

b)      Log₅ 125 =                           d)  log₂ 0 =                           f)  log₆  2 =

2)      Hallar la solución.

a)      Log ₄ x = 3                                 c)  log₃ x = -2                          e)  log₃ x = 4

b)      Log₇ x = 1                                  d)  log₄ x = -1/2                       f)  log x = - 1/2 

Ejemplo de resolución de ecuaciones logarítmicas:

                                     

En algunas ecuaciones se deben aplicar las propiedades de la logaritmación para hallar la solución.

Ejemplo:

                                

En este caso solo verifica la solución positiva  ya que al realizar el reemplazo con el valor negativo el cálculo no tiene solución.

Logaritmos y ecuaciones exponenciales. 

En los casos donde una ecuación exponencial no se puede resolver encontrando iguales bases (como vimos en la unidad anterior), se puede aplicar el logaritmo a ambos miembros para utilizar en la resolución propiedad de los mismos.

Veamos un ejemplo:         4 ^2x+1 = 3               En este caso no puedo obtener igual base en 

                                                                     ambos miembros.

                                  log  4 ^2x+1 = log 3       Por tal motivo aplico logaritmo a ambos lados.

                            (2x+1)  log 4 = log 3        Ya con logaritmo puedo aplicar propiedades.

                             (2x+1) =  log 3 : log4      Los logaritmos de números son operaciones

                                                                    que se resuelven usando la calculadora.

                      2x + 1 = 0,79248125….         Ahora ya tengo una ecuación lineal. Resuelvo.

                           2x = 0,79248125 – 1

                           x  =  -0,207518749 : 2

                            x = - 0,103759374           Solución de la ecuación.

Observación: Si tienes dudas ve el tutorial que se encuentra a continuación extraído de you tube.

Resuelve el trabajo practico de revisión para la evaluación:

              

Bibliografía: Matemática 1 Aique / Puerto de Palos . You tube. 

                                                                   
                                                                    

                         

                        

Números Racionales. Operaciones

Números Racionales 

(Q) 

Operaciones en Q

• Resolver las siguientes situaciones. 

- En un estante de una góndola de un supermercado había 7 paquetes de 1/4 kg de café. Lucia tomó 5 de ellos, pero al llegar a la caja le faltaba dinero y dejó 1/4 kg. ¿Cuántos kg de café quedaron en el supermercado?

Planteo:

De la cantidad de café que había inicialmente restamos la cantidad que lucia tomó, y luego sumamos la que dejo en la caja.

7/4 kg - 5/4 kg + 1/4 = 3/4 kg

Rta: En el supermercado quedaron 3/4 kg de café.

- La cuarta parte de un pizarrón de la ESB N° 4 estaba dedicada a matemática, y la tercera parte a Lengua.
¿Qué parte del pizarrón estaba ocupada? ¿Qué parte quedo libre?

Planteo:

Reemplazamos las fracciones por sus equivalentes (por comodidad, elegimos el m.c.m de los denominadores) y luego las sumamos. También podemos hacer su representación gráfica para ver mejor la situación.

1/4 + 1/3 = el m.c.m (4; 3 ) = 12 entonces 3/12 + 4/12 = 7/12

12/12 - 7/12 = 5/12

Rta: Esta ocupado 7/12 y desocupado quedo 5/12.

Síntesis:

Adición y sustracción:

• Para sumar y restar números racionales hay que pasar los decimales a fracciones irreducibles y luego opero con las fracciones. 

• Para sumar y restar fracciones hay que hallar el común denominador (m.c.m) entre los denominadores y realizamos el procedimiento. 

Ejemplo:

1 + 0,5 – 2/3 = 1 + 1/2 – 2/3 = (6 + 3 – 4) / 6 = 5/6

C.A 

Pasaje de expresión: 0,5 = 5/10 = 1/2 

m.c.m (1;2;3) = 6 

1 = 1;2;3;4;5;6;7;8;9;… 

2 = 2;4;6;8;10;12;……. 

3 = 3;6;9;12;15;18;…… 

Actividades:

1) Resolver:

a) 2/3 – 1/6 + 0,5 =                                        b) 1,4 + 1/15 – 5/4 =

2) Situaciones problemáticas, ¿te animas a resolverlas?

a) En un programa de radio pasaron 1/4 hs de música folclórica; 1/3 hs de Rock nacional y 2/5 hs de tango. El resto fueron noticias ¿qué fracción del programa fue música?¿Que fracción del total representan las noticias?

b) Lucia esta leyendo una novela. El Lunes leyó 1/3 del total. El Martes 2/5 del total. ¿Qué fracción le falta para terminar el libro?

Sumas algebraicas

Hay que recordar que para resolver sumas algebraicas se pueden utilizar las siguientes reglas y propiedades:

• Si delante de un paréntesis, corchetes o llave se encuentra un signo + los números que se encuentren entre ellos conservan el signo. Sin embargo si delante se encuentra un signo – los signos entre ellos cambian.
• Propiedad Cancelativa: Si los números son opuestos al sumarlos dan cero (0) por lo que se pueden cancelar (tachar)

Actividad:

1) Resolver las siguientes sumas algebraicas.

a) 2/5- ( 1 – ( 2/3 - 3/5 )) =

b) 1/6+ (-4/3 + 2 – ( 1/4- 1/3 )) =

a) - 1/2 - (3 – ( - 4/6 + 1/3 )) =


2) Resolver:

a) 5/3 + 3 – 0,25 =           b) 3,5 + 1/8 - 3/4 =                   c) – 0,5 + 2/3 + 3/4 =

d) 1 – 0,2 + 2/7 =            e) 5/6 - 3/5 + 1/12 =                  f) 5/7 + 1/3 - 0,2 =

Multiplicación y División

Para multiplicar o dividir dos números racionales hay que pasar los decimales a fracciones irreducibles y luego operar con las fracciones.

- Multiplicación:

Para multiplicar dos fracciones se multiplica los numeradores entre si y los denominadores entre si; aplicando la regla de los signos.
En este caso se puede simplificar numeradores con denominadores.

Observación:

                                  Regla de los signos

                                 + .+ = +

                                 - . - =  +

                                 + . - =  -

                                 - . + =  -

- División:

Para dividir dos fracciones se multiplica el dividendo por el inverso del divisor
(invierto la fracción divisor).En la división se utiliza la regla de los signos.

Ejemplo:

 2/3 : (-5/3) = 2/3 . (-3/5) = -2/5

 Actividades

1) Resolver

a) 1,2 . (-10/3) =             b) – 0,5 . (-4/7) =       c) -2/5 . 0,2 =                                                                                                                                                                                                              
d) 2,5 : (-8/3) =               e) -1/2 . 0,5 : (-4/9)    f) – 1,5 . 4/9 : (- 0,3) =                                                                                                                                                             

2) Resolver los siguientes cálculos en Q.

a) (1/2 + 1 ) . 0,6 =                         b) (0,3 –1/5) : 1/45 =                                                                          c) 3/4 - 0,2 . 1,5 =                          d) 0,2.(-10/3) + 1,2 .3/2 =  
     

                                                               Potenciación

La Potenciación es una operación entre dos números. Es una forma abreviada de escribir un producto de factores iguales.

Ejemplo:

a) 2³ = 2 . 2 . 2 = 8

b) 0,2 ² =  (2/10 )2 =  (1/5 )2 = 12 / 52 =  1/25

Actividad 

1) Resolver  las siguientes potencias.

a) (2/3) ²  =           b) (-0,6) ² =          c) (1/2) ³ =          d) (0,3) ³  =          e) (-2/3) ³ =

f) (1/2) ⁰ =            g) (0,75) ² =          h) (-5/3) ³ =        i) (-0,5) ³ =          j) (- 4/3) ⁰ =

Radicación

La Radicación es la operación inversa de la Potenciación  Para su resolución con fracciones se utilizan las mismas propiedades que con números Enteros.

Bibliografía: Matemática 7, Santillana EGB.

Función exponencial.

El modelo exponencial

En un lago del sur de la Argentina un grupo de científicos acaba de descubrir una nueva especie de bacterias que se estaría reproduciendo muy rápido y podría causar muchas enfermedades en la población. Estudios recientes revelaron que esta especie se reproduce cada una hora partiéndose en dos (bipartición) y que inicialmente todo habría comenzado con una bacteria.

1) Completen el siguiente cuadro para saber cuánto crecerá la población de bacterias a medida que pasen las horas:

Tiempo	0 hs.	1 hs.	2 hs.	3 hs.	4 hs.	5 hs.	6 hs.	7 hs.	8 hs.	9 hs.	10 hs.
Población de bacterias	1	2

b) ¿Cuántas bacterias habrá a las dos horas?

c) ¿Cuántas bacterias habrá a los dos días?

d) Escriban una expresión o fórmula matemática que les permita hallar la cantidad de bacterias en función del tiempo (en horas). Con los datos obtenidos, propongan un gráfico que represente esta situación.

e) Los biólogos calcularon que, si la población de bacterias crece hasta alcanzar los 4.096 ejemplares, correrían un grave peligro de contaminación. ¿Cuántas horas debería pasar para que ocurra este desastre?

En fenómenos como la evolución de población, la desintegración radiactiva y la reproducción de bacterias se encuentran magnitudes que varían con un ritmo muy acelerado, produciendo rápidos aumentos o decrecimientos, como por ejemplo el crecimiento de una población debido a diferentes factores o el crecimiento acelerado de una bacteria estudiada en un laboratorio, etc.

Todos estos son hechos acordes a un modelo expresado por la función exponencial.

Aplicación de la función exponencial.

Mira el vídeo para conversar en la clase.

La función Exponencial 

Llamamos función exponencial a todo función cuya expresión sea de la forma:

F(x) = k . a ^x  + b

Donde k pertenece a reales; a pertenece a reales; b también pertenece a reales y tanto k como a son distinto de cero.

El dominio de estas funciones es R. Al representarlas gráficamente, se obtienen curvas crecientes o decrecientes en todo su dominio, que tienen al eje de abscisas como asíntota horizontal.

Una asíntota es una recta a la cual la curva se aproxima indefinidamente, sin llegar a tocarla.



Actividad:

1)      Consideren la función  f(x) = 2 ^x  cuyo dominio es R.

a)      Completen la tabla de valores y grafique la función.

x	y = 2 x	y	P(x;y)
0
1
2
3
-1
-2
-3

b)  Observen el gráfico que hicieron y respondan.

1) ¿f(x) es una función creciente o decreciente?

2) ¿Tiene algún punto de contacto con el eje de ordenadas? ¿Cuál?

3) ¿Tiene algún punto de contacto con el eje de abscisas? ¿Cuál?

4) ¿Cuál es la recta que representa la asíntota?

5) ¿Cuál es el conjunto imagen de f(x)?


2) Representen en un mismo eje estas funciones:

a)      f(x) = 2 ^x  ;  g(x) = (1/2) ^x

b)      h(x) = 4 ^x ;  m(x) = (1/4) ^x

3)   Observando los gráficos realizados completa:

Las gráficas de f y g son simétricas con respecto al eje …………………………………

Las gráficas de h y m son simétricas con respecto al eje ………………………………...

Las funciones ………………………..son crecientes y las funciones …………………..

son decrecientes.

Función exponencial de la forma f(x) = k a ^x + b

·         Grafiquen las siguientes funciones y realicen una comparación entre ellas.

f (x) = 3 ^x + 1          ;           g (x) = 3 ^x – 2          y             h (x) = 3 ^x

·        Completen la siguiente tabla.

Función	k	a	b	Asíntota	Imagen
f(x) = 3x + 1
g(x) = 3x - 2
h(x) = 3x

Síntesis:

Como has podido observar comparando los gráficos y analizando las funciones la asíntota está determinada por el término independiente de la función. Esta condiciona el conjunto imagen pero no el dominio de las funciones exponenciales.

Gráfico:

·         Grafiquen los siguientes pares de funciones en un mismo eje. Realiza el análisis de cada función y extrae una conclusión.

a)    f (x) = -1 . 2 ^x + 1          ;           g (x) = 2 ^x – 1       

b)   h (x) = -1 . 3 ^x + 2          ;           i (x) = 3 ^x – 2        

Función exponencial de la forma

f(x) = k . a ^{x – c}

A partir de una función exponencial de puede representar gráficamente una de la forma

f(x) = k . a ^{x – c}

La gráfica se desplaza hacia la derecha o izquierda, según corresponda.



Actividad:

· Graficar en el mismo eje y analizar las siguientes funciones exponenciales. 

1.       g(x) = 2 ^{x + 1}

2.       h(x)= 2^{x – 1}

3.       f(x) =2^x

Síntesis:


Si a la fórmula de una función exponencial se le suma un valor c la gráfica de la misma se desplaza asi la izquierda.
Si a la fórmula de una función exponencial se le resta un valor c la gráfica de la misma se desplaza asi la derecha.
En ambos casos no se modifica la asíntota e imagen de la función.

Gráfico:

Actividad integradora:

· Graficar y analizar cada función.

1.       f(x)= 2 ^{x + 2}  -1

2.       g(x)= 2 ^{x –2}  + 1

3.       h(x)= 2 ^x  - 2

4.       i(x)= 2 ^x   + 2

5.       j(x)= 2 ^{x + 1}

Bibliografía: Carpeta de Matemática I, Aique. Programa Alterado por Pi, conducción: Paenza (You Tube)

Ecuaciones Exponenciales

Contenidos previos a utilizar en la unidad:

· Propiedades de la potenciación.

· Exponente negativo.

· Factoreo de números. Expresión como producto de sus factores primos.

· Caso de factoreo: Factor común.

Definición:

Decimos que una ecuación exponencial es cuando contiene a la incógnita en algún exponente.
Observen los siguientes ejemplos:

Ejemplo 1 :
                                 1024 = 8 . 2^x         
          
                                  2¹⁰ = 2³ . 2^x              
                                                                                       
                                             2¹⁰ = 2 ^{3 + x}                                          
                                                                 

                                   10  = 3 + x                     

                                    x = 7                      

1° factoreamos el 1024 y el 8 para obtener su expresión como  producto de sus factores primos.
2° Aplicamos propiedad de la potencia
3° Como las bases son iguales podemos plantear la igualdad entre los exponentes.
4° Resuelvo la ecuación lineal hallando la solución.

Ejemplo 2 :

                            

                                3^x  +  3^x+3          = 10/3             

                                3^x  +  3^x . 3³      = 10/3            

                                 3^x . ( 1 + 3² )  = 10/3            

                                      3^x  . 10      =  10/3

                                        3^x           =  10/3 : 10

                                        3^x           =  1/3             

                                         3^x          =  3^-1                  

                                         X          =  -1                     

                                                                 

1° Aplicamos propiedades de la potencia.
2° Factor común.
3° Exponente negativo.

4° Igualo los exponentes y resuelvo la ecuación lineal.

Actividades:
Resolver las siguientes ecuaciones exponenciales.

a)       4^x  =  1/4

b) 2 ^x+1 = 8                                                          
c) 9 . 3 ^x = 27                                                    
d) 9 ^x+1 = 3
e) 4^x  . 2^x+1  = 1
f) 27 . 3^x+2 =  1/3
g)  2^x + 2^x= 4
h)  1/2 . 3^x + 3^x  =  3/2
i)  5^x + 5^x+1  =  6/25

Trabajo Práctico

"Ecuaciones exponenciales"

·        Resolver las siguientes ecuaciones.

1.       27^x  = ( 1/3 ) ^2x

2.       2^x+1  = 4^2x

3.       3^2x = 81

4.       8 . 2^x = 4

5.       27 . 3^2x+3  = 9^3x

6.       2^-1+x = 16^-1

7.       2^x + 2^x+3 = 9/4

8.       3^3x-1 = 1

9.       2^x + 2^x+3 + 2^x-1 = 19/4

10.   9^x+2  : 3^x+1 . 3^x = 1