Máximo Común Divisor.

El mayor de los divisores comunes

El máximo común divisor de dos o más números es el mayor de los divisores comunes entre ellos.

Veamos un ejemplo:

Sergio quiere plantar árboles en su terreno que mide 12 metros de ancho y 16 metros de largo, de manera que todos los árboles estén a la misma distancia uno de otro. Además quiere que estén a la mayor distancia posible ¿cada cuántos metros deberá plantarlos?

Resolución: Si calculamos  los divisores de cada medida del terreno podremos observar la respuesta.

Divisores de 12: 1; 2; 3; 4; 6; 12.

Divisores de 16: 1; 2; 4; 8; 16.

Rta: Sergio debe plantar los árboles cada 4 metros.

Observación:

Los divisores comunes entre 12 y 16 son: 1; 2 y 4. Como quiere plantar sus árboles a la mayor distancia posible tendría que hacerlo cada 4 metros que es el divisor común más grande.

El 4 es el máximo común divisor entre 12 y 16.

·         Otra manera de hallar el m.c.d entre números es por medio de la forma práctica que consiste en el factoreo de los mismos expresando el producto de sus factores primos.

1er paso:

Descomponemos como producto de sus factores primos los números dados. Siguiendo el problema anterior m.c.d (12; 16):                                  

                                         12:2                                    16:2

                                          6:2                                      8:2

                                          3:3                                       4:2

1                                                                                    2:2

1

                                     2² . 3                                              2⁴

2do paso:

Tomamos solo los factores comunes con su menor exponente y los multiplicamos.

m.c.d (12; 16) = 2² = 4.

Observamos que el resultado es el mismo.

Resolvamos algunas actividades:

Actividad 1er año:

1)      Hallar los siguientes máximo comunes divisor .

a)      m.c.d (45; 60) =

b)      m.c.d (20; 36) =

c)      m.c.d (15; 20;30) =

d)     m.c.d (9; 27) =

e)      m.c.d (16; 20;8) =

2)      Situaciones problemáticas.

a)      Un comerciante quiere repartir 150 autitos y 60 soldaditos en paquetes, para realizar una promoción. Si todos los paquetes deben contener lo mismo, ¿Cuál es la cantidad de paquetes que puede preparar? ¿Qué contendrá cada uno?

b)      En una escuela hay 18 alumnos en 1ro 2da; 27 en 1ro 3ra y 45 en 1ro 1ra de la ESB N°4.

Para realizar una competencia de Matemática se deben formar grupos de igual cantidad de alumnos que pertenezcan al mismo curso.

¿Cuál es el mayor número de alumnos que debe tener cada uno si todos los grupos tienen la misma cantidad de integrantes?

c)      Se cuenta con 36 mosaicos blancos y 40 mosaicos negros para hacer una guarda en la pared de un patio ¿Cómo se deben agrupar para obtener la mayor cantidad de grupos iguales, es decir, con el mismo número de mosaicos blancos y negros, sin que sobre ninguno?

d)     Agustín y Marianela tienen una colección de figuritas clasificadas.

Poseen 90 de futbol, 60 de héroes de televisión y 96 de Disney. Quieren hacer el mayor número de pilas iguales sin que sobre ninguna.

¿Cuál es el número de pilas que se pueden armar?

¿Cuántas figuritas de cada colección tendrá cada pila?

e)      Un comerciante posee 76kg de pelones; 98kg de ciruelas secas; 88kg de peras secas y 78kg de damascos secos.

Quiere vender estas frutas por separado y en bolsitas del mismo peso, usando la menos cantidad posible de bolsas.

¿Qué peso deberá tener cada una y cuántas bolsas se tendrá de cada clase de frutas?

3)      Usando el método que desees, halla el m.c.d de estos números.

a)      45  y 70.

b)      120  y 190.

c)      100  y 540

d)     60 y 240

Bibliografia: Matemática 7, Fabian Jefe. Matemática 7, Aique. Matemática 7. Santillana.

Mínimo Común Múltiplo

El menor de los múltiplos comunes

Lee el siguiente problema:

Federico dice que, cada cuatro días, su mama cocina alguna pasta y que, cada seis, el postre es flan. Si hoy comió tallarines al pesto y de postre, flan con dulce de leche, ¿dentro de cuantos días tendrá un menú similar?

Analicemos juntos:

En este problema, Federico vuelve a comer pastas después de 4 días, de 8 días, de 12 días, …

Los números 4; 8; 12; 16; 20; 24;…… son múltiplos de 4; y se obtiene multiplicando 4 por orto número natural.

En tanto, el postre va a ser flan después de 6 días, 12 días, 18 días, 24 días, ….

Los números 6; 12; 18; 24; …… son múltiplos de 6; y se obtiene multiplicando 6 por orto número natural.

Veamos entonces que vuelve a tener un menú similar dentro de 12 días por primera vez, y luego, cada 12 días.

Los números 12 y 24 por ejemplo son múltiplos tanto de 4 como de 6. Por eso, los llamamos múltiplos comunes entre 4 y 6.

Entre ellos el menor común entre 4 y 6 es el 12 por lo que es la respuesta a nuestro problema.

Lo escribimos así: m.c.m (4;6) = 12 y se lee Mínimo Común Múltiplo entre 4 y 6 es igual a 12.

Se llama mínimo común múltiplo entre dos o más números al menor de los múltiplos que esos números tienen en común.

En símbolos, el también llamado múltiplo común menor entre dos números naturales a y b se escribe asi: m.c.m (a;b)

Actividad:

1) Calculen en mínimo común múltiplo entre 8 y 12.

Múltiplos de 8:

Múltiplos de 12:

Entonces m.c.m (8;12) =

2) En la casa de Federico, además de pastas y flan, los domingos también preparan un pan saborizado para acompañar la comida.

Teniendo en cuenta que hoy comieron pastas y flan, junto al famoso pan, responde:

a) ¿Cada cuantos días repetirán este menú?

b) Este menú, acompañado de pan, ¿siempre caerá un domingo? ¿por qué?

3) En una fábrica, una bomba de agua arranca cada 3 horas para cargar un tanque; otra cada 4 horas y otra, cada 6 horas. Si acaban de arrancar las tres, ¿Cuánto tiempo pasara hasta que nuevamente arranquen las tres juntas?

4) Por una plaza pasan tres líneas de colectivo. Una línea de colectivos pasa cada 30 minutos, otro cada 20 minutos y el otro cada 15 minutos. Si acaban de parar en la plaza los tres colectivos de las tres líneas, ¿dentro de cuánto tiempo volverán a coincidir las tres líneas en esa parada?

Repasemos:

El Mínimo Común Múltiplo de dos o más números, es el menor número (excepto el cero) que los contienen una cantidad exacta de veces.

· Cuando existen problemas que involucran números grandes, como sucede en el problema 4 de las actividades hay un método práctico que nos permite resolver el problema utilizando Factoreo de números.

Observa:

1° Se descomponen los números involucrados como producto de sus factores primos.

2° Si los factores primos se repiten en todas las descomposiciones, se consideran los que estén con el mayor exponente.

3° Si se encuentran en una columna y en otra no, se consideran igualmente.

4° Se multiplican todos los números señalados obteniendo de este modo en m.c.m

- Resolvamos el problema cuatro utilizando el método practico aprendido:

30: 2                             20: 2                         15: 3

15: 3                             10:  2                         5:  5

5:  5                              5:  5                          1

 1                                   1

2 . 3 . 5                           2² . 5                      3 . 5

m.c.m ( 30;20;15) = 5 . 2² . 3 = 60

Actividad:

1) Luis visita a su hermano cada 5 días; a sus padres cada 6 días y a su tía cada 8 días ¿cada cuántos días coinciden las tres visitas?

2) En un control de rutas se examinaron los neumáticos cada 10 autos; los frenos cada 6 y las luces cada 15. Si a un vehículo se le hizo una revisión completa, ¿Cuántos serán examinados después de este para que se efectué, nuevamente, una revisión completa?.

Bibliografia: Matemática 7, Fabian Jefe. Matemática 7, Aique. Matemática 7. Santillana.

Sudoku por Paenza