Polinomios.

Factor Común y Propiedad Distributiva de la multiplicación

La siguiente igualdad expresa la propiedad distributiva de la multiplicación respecto de la suma.
Su aplicación en sentido contrario se llama extracción de factor común
 (1° caso de factoreo de polinomios).

Ejemplo: Podemos expresar el área de esta figura de dos maneras distintas.

Ejemplos 1:

Aplicamos propiedad distributiva      2x . (3y – x² ) = 2x . 3y – 2x . x² = 6xy – 2x³

Ejemplo 2:

Aplicamos Factor común                  6xy – 2x³ = 2x . 3y – 2x . x² = 2x . (3y – x² )

Como podemos observar son operaciones inversas.

Actividad: Aplicar Factor Común.

a) 2x² – 6x³ + 12x²y =

b) 21y x + 49 x² y³ =
c) 6x + 4y – 2z =

d) 3x² – 6 x³ =

Factor Común por grupos 

Si no es posible encontrar un factor común único, se puede intentar armar grupos con los distintos términos (2° caso de factoreo de polinomios).

Veamos un ejemplo:

También puede suceder que se encuentre luego de aplicar el factor común por grupos la posibilidad de reiterar el factor común.

Observemos el siguiente ejemplo:

Actividad: Factorear los siguientes polinomios.

a) 2 x ² + 2 x y + z ² x + z ³ =

b) 6 x ² + 3 x y – 2 x y – y ² =

c) 3 y z ²  + 9 y z w + 3 w ² y + w y z =

Potencia de Polinomios.

Potencia de un monomio:

Para resolver la potencia de un monomio, se debe aplicar la propiedad distributiva de la potencia respecto de la multiplicación y la potencia de otra potencia.

Ejemplo:  (-3x³)²  =  (-3)² . (x³)²  = 9 x ⁶

Productos con nombre propio 

Cuadrado de un binomio.

Geometricamente se puede expresar el cuadrado de un binomio como el calculo del área que forman dos cuadros de distinto tamaño y dos rectángulos iguales como se observa en el gráfico de la siguiente forma: 

 (a+b).(a+b) = (a+b)²

El desarrollo de dicha expresión se puede ver como la suma de las áreas de cada figura:

                                                                (a+b)²  = a² + ab+ab+b² = a² + 2ab+b²

                                          Cuadrado de un binomio             Trinomio cuadrado perfecto

 Al elevar al cuadrado un binomio se obtiene un Trinomio cuadrado perfecto.

El pasaje de un trinomio cuadrado perfecto a un cuadrado de un binomio se efectúa aplicando el quinto caso de factoreo de polinomios.

Actividad:

1) Desarrollar los siguientes cuadrado de binomio:
a) ( x + 1 )2 =                        b) ( x – 3 )2 =                  c) ( x + 2 )2 =

2) Reducir las siguientes expresiones:
a) a2+2ab+b2                     b) 4x2+8xy+y2                        c) 36m2–84mn+49n2

3) Colocar V (verdadero) o F(falso) según corresponda:
a) x2+2xy+y2= ( x - y )2                                     c) (4b + 9c)2 = 16b 2+ 36 bc + 81c2

b) (3a – 2b)2= 9a2 -12ab +b2                             d) (7x – 2y)2= 49x2 - 28xy - 4y2

Cubo de un binomio.

Al elevar al cubo un binomio se obtiene un cuatrinomio cubo perfecto. 
El pasaje de un cuatrinomio cubo perfecto a un cubo de un binomio se efectúa aplicando el sexto caso de factoreo de polinomios.

(a+b) . (a+b) . (a+b) = (a+b)³ = a ³+ 3 a ² b + 3 a b ² + b ³

Actividad:

1) Desarrollar los siguientes cubos de binomio.

a) (x–3x)³=                    b)(2y+3 x)³=                  c)(5+2x)³=

2) Reducir las siguientes expresiones:

a) x³ - 9x² + 27x - 27            b) 8³ + 48x² + 96x + 64     c) 27x³ - 108x² + 144x - 64

Bibliográfica: Puerto de Palos / Nueva Carpeta de Matemática Aique/
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