Función Polinómica

Una función de la forma f(x) =  a_n  xⁿ + a_n-1   x^n-1  + ………….. + a₂  x²  + a₁  x¹ + a₀  x⁰ ,

Siendo n un número natural y a números reales, es una función polinómica.
- El dominio de las funciones polinómicas es el conjunto de los números reales.
- Las funciones polinómicas son continuas.
- Si an ≠ 0, entonces la función es de grado n.

Función.	Grado
F(x) = 2x4 + 3x3 – 2x2 – 4x - 3	Cuatro
F(x) = x3 - 4	Tres
F(x) = 3 x + 6	Uno

Orden de multiplicidad:

Se llama orden de multiplicidad de una raíz a la cantidad de veces que la raíz se repite como tal.
Para determinar el comportamiento de una función polinómica respecto del eje x (eje de abscisas), hay que factorizar el polinomio, f(x) = a_n ( x – x₁) ( x – x₂ ) … ( x - x_n-1 ) (x - x_n ), y
determinar el orden de multiplicidad de sus raíces.

1) Si el orden de multiplicidad de la raíz es PAR, la gráfica de la función toca el
eje x pero no lo atraviesa, REBOTA.

- Completa la siguiente tabla de valores y gráfica la siguiente función: f(x) = (x-1)² 

x	f(x) =	y
0
1
2
3
-1
-1/2

Ya conocemos las funciones cuadráticas, estas son funciones polinómicas de segundo grado. Si a estas las multiplicamos por un binomio obtenemos funciones polinómicas de grados mayor a 2.

2) Si el orden de multiplicidad de la raíz es IMPAR, la gráfica de la función atraviesa el eje x, CORTA.
- Completa la siguiente tabla de valores y grafica la siguiente función: f(x) = (x-3)³

x	f(x) =	y
1
2
3
4
5

Teorema de Bolzano:
Si una función f(x) es continua en un intervalo de su dominio, y tiene distinto signo en los extremos del mismo, entonces tiene por lo menos una raíz real en ese intervalo.

Como consecuencia del teorema anterior, entre dos raíces reales consecutivas la función adopta solo valores positivos o negativos.

Conjunto de positividad (C+) y Conjunto de negatividad (C-) .

- El conjunto de positividad está formado por todos los valores del dominio para los cuales la función es positiva (la gráfica se encuentra sobre el eje de las abscisas).
 - El conjunto de negatividad está formado por todos los valores del dominio para los cuales la función es negativa (la gráfica se encuentra debajo el eje de ordenadas).
- Los conjuntos de positividad y negatividad quedan determinadas por las raíces de la función.

Crecimiento y decrecimiento de una función.

- Una función continua es creciente en un cierto intervalo se su dominio cuando al aumentar los valores de la variable independiente, aumentan los valores de la variable dependiente.
- Una función continua es decreciente en un cierto intervalo de su dominio cuando al aumentar la variable independiente, disminuyen los valores de la variable dependiente.
- En la función polinómica anterior los intervalos crecientes son ( - ∞; d) y (e; + ∞),

y decrecientes en (d;e).

Gráfico aproximado.

Para realizar el gráfico aproximado de una función polinómica se debe:
· Hallar la ordenada al origen, la cual está determinada por el punto de intersección de la gráfica con el eje y donde siempre x = 0.
· Factorizar el polinomio:
- Hallar las raíces, las cuales representan la intersección de la gráfica con el eje x donde y=0.
- Observar el orden de multiplicidad de las raíces que indican si la gráfica rebota o atraviesa el eje x.
· Hallar los conjuntos de positividad y negatividad ( C+ y C- ). Para esto se buscan valores del dominio entre dos raíces consecutivas para determinar si la función es positiva o negativa en ese intervalo.

Ø  Ejemplo: Realizar el gráfico aproximado de f(x) = (x-1/2 ) . (x+1)² . (x+3)
1°) Ordenada al origen entonces  x = 0 

Debemos reemplazar en la función a x por cero y resolver:

 y = (0- 0,5) . (0+1)² . (0+3) = -0,5 . 1 . 3 = - O (-3/2 ; 0 )

2°) Raíces  entonces y = 0
Debemos encontrar los valores de x que anulan cada paréntesis de la función:

x =1/2    ; x = -1 ; x = -3  entonces R1 (0,5 ; 0 ) ; R2 ( -1 ; 0 ) ; R3 ( -3 ; 0 )

3°) Orden de multiplicidad: Si el exponente del paréntesis de la función es par la gráfica rebota en esa raíz y si el exponente es impar la gráfica atraviesa en esa raíz.

R1 = atraviesa ; R2 = rebota ; R3 = atraviesa.

4°) Conjuntos de positividad y negatividad ( C+ y C- ).
Elijamos cualquier valor que se encuentre entre los intervalos formados por las raíces de la función y calculemos su imagen para saber si es positiva o negativa.

Ø  f(-4) = (-4-0,5 ) . (-4+1)² . (-4+3) = 81/2

Ø  f(-2) = (-2- ) . (-2+1)² . (-2+3) = -5/2

Ø  f(0) = (0- ) . (0+1)² . (0+3) = -3/2

Ø  f(1) = (1- ) . (1+1)² . (1+3) = 8

Gráfico aproximado:

Bibliografia: Logikamene, Juan Pablo Pisano. Puerto de Palos, Matemática 1, Activa. Uso del programa GeoGebra.