Función exponencial.

El modelo exponencial

En un lago del sur de la Argentina un grupo de científicos acaba de descubrir una nueva especie de bacterias que se estaría reproduciendo muy rápido y podría causar muchas enfermedades en la población. Estudios recientes revelaron que esta especie se reproduce cada una hora partiéndose en dos (bipartición) y que inicialmente todo habría comenzado con una bacteria.

1) Completen el siguiente cuadro para saber cuánto crecerá la población de bacterias a medida que pasen las horas:

Tiempo	0 hs.	1 hs.	2 hs.	3 hs.	4 hs.	5 hs.	6 hs.	7 hs.	8 hs.	9 hs.	10 hs.
Población de bacterias	1	2

b) ¿Cuántas bacterias habrá a las dos horas?

c) ¿Cuántas bacterias habrá a los dos días?

d) Escriban una expresión o fórmula matemática que les permita hallar la cantidad de bacterias en función del tiempo (en horas). Con los datos obtenidos, propongan un gráfico que represente esta situación.

e) Los biólogos calcularon que, si la población de bacterias crece hasta alcanzar los 4.096 ejemplares, correrían un grave peligro de contaminación. ¿Cuántas horas debería pasar para que ocurra este desastre?

En fenómenos como la evolución de población, la desintegración radiactiva y la reproducción de bacterias se encuentran magnitudes que varían con un ritmo muy acelerado, produciendo rápidos aumentos o decrecimientos, como por ejemplo el crecimiento de una población debido a diferentes factores o el crecimiento acelerado de una bacteria estudiada en un laboratorio, etc.

Todos estos son hechos acordes a un modelo expresado por la función exponencial.

Aplicación de la función exponencial.

Mira el vídeo para conversar en la clase.

La función Exponencial 

Llamamos función exponencial a todo función cuya expresión sea de la forma:

F(x) = k . a ^x  + b

Donde k pertenece a reales; a pertenece a reales; b también pertenece a reales y tanto k como a son distinto de cero.

El dominio de estas funciones es R. Al representarlas gráficamente, se obtienen curvas crecientes o decrecientes en todo su dominio, que tienen al eje de abscisas como asíntota horizontal.

Una asíntota es una recta a la cual la curva se aproxima indefinidamente, sin llegar a tocarla.



Actividad:

1)      Consideren la función  f(x) = 2 ^x  cuyo dominio es R.

a)      Completen la tabla de valores y grafique la función.

x	y = 2 x	y	P(x;y)
0
1
2
3
-1
-2
-3

b)  Observen el gráfico que hicieron y respondan.

1) ¿f(x) es una función creciente o decreciente?

2) ¿Tiene algún punto de contacto con el eje de ordenadas? ¿Cuál?

3) ¿Tiene algún punto de contacto con el eje de abscisas? ¿Cuál?

4) ¿Cuál es la recta que representa la asíntota?

5) ¿Cuál es el conjunto imagen de f(x)?


2) Representen en un mismo eje estas funciones:

a)      f(x) = 2 ^x  ;  g(x) = (1/2) ^x

b)      h(x) = 4 ^x ;  m(x) = (1/4) ^x

3)   Observando los gráficos realizados completa:

Las gráficas de f y g son simétricas con respecto al eje …………………………………

Las gráficas de h y m son simétricas con respecto al eje ………………………………...

Las funciones ………………………..son crecientes y las funciones …………………..

son decrecientes.

Función exponencial de la forma f(x) = k a ^x + b

·         Grafiquen las siguientes funciones y realicen una comparación entre ellas.

f (x) = 3 ^x + 1          ;           g (x) = 3 ^x – 2          y             h (x) = 3 ^x

·        Completen la siguiente tabla.

Función	k	a	b	Asíntota	Imagen
f(x) = 3x + 1
g(x) = 3x - 2
h(x) = 3x

Síntesis:

Como has podido observar comparando los gráficos y analizando las funciones la asíntota está determinada por el término independiente de la función. Esta condiciona el conjunto imagen pero no el dominio de las funciones exponenciales.

Gráfico:

·         Grafiquen los siguientes pares de funciones en un mismo eje. Realiza el análisis de cada función y extrae una conclusión.

a)    f (x) = -1 . 2 ^x + 1          ;           g (x) = 2 ^x – 1       

b)   h (x) = -1 . 3 ^x + 2          ;           i (x) = 3 ^x – 2        

Función exponencial de la forma

f(x) = k . a ^{x – c}

A partir de una función exponencial de puede representar gráficamente una de la forma

f(x) = k . a ^{x – c}

La gráfica se desplaza hacia la derecha o izquierda, según corresponda.



Actividad:

· Graficar en el mismo eje y analizar las siguientes funciones exponenciales. 

1.       g(x) = 2 ^{x + 1}

2.       h(x)= 2^{x – 1}

3.       f(x) =2^x

Síntesis:


Si a la fórmula de una función exponencial se le suma un valor c la gráfica de la misma se desplaza asi la izquierda.
Si a la fórmula de una función exponencial se le resta un valor c la gráfica de la misma se desplaza asi la derecha.
En ambos casos no se modifica la asíntota e imagen de la función.

Gráfico:

Actividad integradora:

· Graficar y analizar cada función.

1.       f(x)= 2 ^{x + 2}  -1

2.       g(x)= 2 ^{x –2}  + 1

3.       h(x)= 2 ^x  - 2

4.       i(x)= 2 ^x   + 2

5.       j(x)= 2 ^{x + 1}

Bibliografía: Carpeta de Matemática I, Aique. Programa Alterado por Pi, conducción: Paenza (You Tube)