Sistemas de ecuaciones.

Realicemos la siguiente actividad:

En un mismo instante en que un auto rojo sale de una estación de servicio, un auto azul se encuentra a 240km de esa estación circulando por la misma ruta, pero en sentido contrario.

Las funciones que indican a que distancia de la estación de servicio se encuentra cada auto son:

                      Auto rojo: y = 80 x                                             Auto azul: y= - 80 x + 240

                     x= tiempo (en horas)                                              y= distancia (en km)

• Completa la tabla correspondiente a cada función y represéntalas en un mismo eje cartesiano. Escribe las coordenadas del punto donde se intersecan los autos.

                                                                                 Auto rojo: y = 80 x                     

x (tiempo)	y (distancia)
0
1
2

                                                                            Auto azul: y= - 80 x + 240

x (tiempo)	y (distancia)
0
1
2

Dos ecuaciones de primer grado, con dos incógnitas cada una, determinan un Sistema de Ecuaciones.

La solución del sistema está formada por los valores de x e y que satisfacen las dos ecuaciones simultáneamente.

Un sistema de ecuaciones se representa gráficamente con dos rectas.

En la actividad, la fórmula de cada función es una ecuación y las dos fórmulas forman un sistema de ecuaciones. La solución del sistema es el punto donde los caminos de ambos autos se cruzan, se intersecan.

• Lee atentamente este problema e intenta resolverlo con los conceptos conocidos.

El precio de la entrada a un espectáculo es de $5 por adulto y de $3 por niño. Ayer asistieron 60 personas y la recaudación fue de $210. ¿Cuántos niños asistieron? 

¿Que sucede? ¿Tienes algún problema?

Veamos, vamos a plantearlo:

Tengo $5 por adulto, puedo plantearlo 5a

Tengo $3 por niño, puedo plantearlo 3n

Bien ¿cuál es la dificultad? si, tengo dos variables distintas, a y n.

Para resolver problemas de este tipo utilizamos los sistemas de ecuaciones lineales con dos incógnitas que tiene varias formas de resolución.
Intenta resolverlo aplicando el gráfico como en la situación anterior.

Teóricamente

Dos ecuaciones de primer grado, con dos incógnitas cada una, determina un sistema de ecuaciones. Ambas ecuaciones se relacionan mediante una llave.

Resolución gráfica.
Si se representan ambas rectas en un mismo eje cartesiano, el punto donde se interceptan es la solución del sistema.
Para poder realizar el gráfico se debe despejar la variable Y de ambas ecuaciones para armar la función que corresponde a la ecuación. Luego realizar una tabla de valores para cada una y graficar.

x	y = 3x-5
0	3.0-5=-5
2	3.2-5=1
3	3.3-5=4

x	y = - x+7
3	-3 + 7=4
4	-4+7=3

La solución del sistema es el punto A(3;4) , lo que significa que x = 3 e y = 4

Actividades:

1) Don Gregorio, un campesino apasionado por la vida silvestre, cría vacas y patos. La manada cuenta con 120 cabezas y 342 patas. ¿Cuántas vacas y patos hay en el campo de Don Gregorio?
                                   
 2) Hallar la solución de los siguientes sistemas de ecuaciones aplicando el método gráfico

Graficador de funciones GeoGebra http://www.geogebra.org/cms/es/  

Ve el siguiente tutorial:

Verifica la resolución de los sistemas anteriores realizando su resolución aplicando el programa GeoGebra.

Tipo de Soluciones.

Resolver los siguientes sistemas de ecuaciones aplicando los métodos solicitados.

- Analiza cada solución y expresa tu conclusión.

TEORÍA:

Bibliografía: Carpeta de Matemática I, Aique. Puerto de Palos. 

Curso virtual sobre ecuaciones plataforma abc

Funciones. Análisis de Función.

En el estudio de las aplicaciones matemáticas a problemas prácticos, en el análisis de datos y en toda tarea de investigación científica, cuando se relacionan tipos de fenómenos, se emplea el concepto de Función.
En toda situación donde interese mostrar los resultados obtenidos mediante un análisis matemático, como los informes económicos o científicos, se utilizan funciones, las cuales frecuentemente son presentadas en forma gráfica.

Concepto de función. Variables. 

Una función es una relación entre dos variables en la cual a cada elemento del primer conjunto le corresponde una única imagen en el segundo.
En la actividad anterior podemos observar que las ganancias están en función del tiempo transcurrido. Por lo tanto el tiempo (en meses) es la variable independiente y la ganancia (en millones de $) es la variable dependiente.
Los valores que toman la variable independiente forman el conjunto dominio y los valores que toma la dependiente forman el conjunto imagen.

Representación de puntos en ejes cartesianos. Interpretación de gráficos.

Los ejes cartesianos son dos rectas perpendiculares que se cortan en un punto llamado origen de coordenadas. La recta horizontal recibe el nombre de abscisa (se la simboliza con la letra x), y la vertical se llama ordenada (se simboliza con la letra y).
Para localizar un punto se dan las coordenadas, o sea, un par de números, pero para que todos puedan entender cuál es el punto, ese par de números se escriben en un orden determinado; por eso se llama par ordenado.

El punto A tiene como valor de abscisa 4, y como ordenada 3, por lo tanto A(4;3)

Actividad:

1) Marcar las coordenadas de los siguientes puntos en un eje cartesiano.

B(2;5)             C(-1;3)                D(4;-3)              E(-2;-5)                  F)(1;6)

2) Escribe las coordenadas de los puntos marcados.

Interpretación de gráficas. 

Observa el siguiente video extraído de youtube para poder realizar la actividad que continúa.

Actividad: 

1) Marcar en un eje cartesiano los siguientes pares ordenados:
a) P1(-2;3)       b) P2(3;-2)       c) P3(-1;-5)       d) P4(4;-6)         e) P5(1;3)

2) Plantear las coordenadas de los puntos marcados en el siguiente plano:

3) El siguiente gráfico muestra el registro de temperaturas para un día de invierno en cierta región del país.

a) ¿Cuáles son las variables que se relacionan?        d) ¿Qué temperatura hizo a las 20 hs?

b) ¿Qué variable está en función de la otra?             e) ¿En qué momento la temperatura fue de 0°c?

c) ¿En qué momento del día la temperatura se mantuvo constante?

(observación: Actividad a entregar por 3ero 1ra el dia miercoles 2 de agosto de 2017)

Estudio de Funciones.

Intervalos de Crecimiento y Decrecimiento.

Actividad: Expresar los intervalos crecientes, decreciente y constante de cada función.

                                    

Máximos y Mínimos.

Actividad: Observar los gráficos e indicar cuales son los máximos y los mínimos de las funciones.

Ceros de la función.
Las raíces o ceros de la función son los valores del dominio para los cuales la función se anula. Son las abscisas de los puntos de contacto de la gráfica con el eje x. Se obtienen resolviendo la ecuación  f(x) = 0

Ejemplo:
Los ceros de f(x) = x² – 4     se pueden hallar igualando la función dada a cero:

Los puntos que interceptan al eje x son las raíces o ceros de la función.
El punto que intercepta al eje y es la ordenada al origen.

Actividad: Marcar y dar las coordenadas de los ceros de la función y ordenada al origen.

Conjunto de positividad y negatividad

Actividad: Plantear los intervalos de positividad (C⁺) y los de negatividad (C^-) según corresponde a cada función.

                                      

 

Bibliografia: Uso de GeoGebra. Carpeta de Matemática 1, Aique. Lógicamente, Pisano. Puerto de Palos, Matemática 8 (versión para el docente). Matemática II, Nuevamente, Santillana. Matemáticas III, Nuevamente, Santillana.

TRABAJO PRÁCTICO.

Apellido:

Nombre:

Curso:  

1) La gráfica muestra las temperaturas MÁXIMAS y MÍNIMAS de una ciudad durante los primeros 15 días de Julio.

Observa el gráfico y responde:

a) ¿Entre qué valores se registraron las temperaturas máximas? 

b) ¿Y entre cuales las temperaturas mínimas? 

c) ¿En qué fechas las temperaturas máximas fueron de cero grados?

d) ¿En qué casos las temperaturas se mantuvieron constantes? 

e) Marca y expresa el mínimo y el máximo de la función que representa las temperaturas mínimas.

f) Expresa los intervalos de crecimiento del gráfico verde. 

g) ¿Qué puntos representan las raíces de ambas funciones? Marcalas. 

h) Expresa las coordenadas de los puntos A, B, C, D y E.

i) Coloca el nombre F al punto cuya coordenada es (1;-1) y el nombre G al punto (3;4).

j) ¿Cuáles son las variables que se relacionan? 

Ecuaciones en N

Lenguaje Coloquial y Simbólico.

• Lenguaje Coloquial: Es el lenguaje de las palabras, que puede ser escrito u oral.

• Lenguaje Simbólico: Si observan con atención, pueden comprobar que existen distintos símbolos que se utilizan para dar información sin necesidad de usar las palabras, se puede mencionar las señales de tránsito como un ejemplo.La matemática utiliza un lenguaje particular formado por números, letras y símbolos especiales. A este lenguaje se lo denomina simbólico o matemático. 

Ejemplos:

Lenguaje Coloquial	Lenguaje Simbólico
El doble de tres es igual a seis	2 . 3 = 6
La  cuarta parte de dieciseis	16:4
La mitad de un número es igual a cinco	x : 2 = 5

Observación: A los números que no tienen asignado un valor determinado (incógnita) se los escribe con una variable (letra) como se vé en el tercer ejemplo.

Actividad:

1) Traducir de lenguaje.

Lenguaje Coloquial	Lenguaje Simbólico
Un número aumentado en tres unidades.
El triple de un número disminuido en una unidad.
La raíz cúbica de ocho
El doble del siguiente de un número
El anterior de un Número
La raíz cuadrada del cubo de un número
El cubo del consecutivo de un número

1) Traducir de lenguaje

a) La raíz cúbica del consecutivo de un número

b) El doble de un número aumentado en tres 

c) El cuadrado de un número disminuido en cinco 

d) La tercera parte del anterior de un número

A jugar: 

Adivina, Adivinador.

•  Piensen un número. Ahora sumen tres. Al resultado multiplicarlo por dos ¿Cúal es el resultado que obtuvieron?

Ejemplo: 

Juan pensó un número y le sumo tres. Luego lo multiplicó por dos. Obtuvo diez 

¿Qué número es? 

- Realicemos la traducción de lenguaje a ver que obtenemos: 

( x + 3 ) . 2 = 10

-Si realizamos los pasos inversos logramos adivinar qué número pensó Juan

¿Lo intentamos? 

( x + 3 ) . 2 = 10 

x + 3 = 10 : 2 

x = 5 – 3 

x = 2

Observación: La propiedad que se aplica cuando se deshace las operaciones, comenzando por la última hasta llegar a la primera recibe el nombre de Uniforme.

Resumen Teórico:

• Una ecuación es una igualdad en la que aparece, por lo menos, un valor desconocido llamado incógnita que se representa mediante una variable (letra). 

•  Resolver una ecuación significa encontrar el valor o los valores de la incógnita que hacen verdadera la igualdad. 

• Cada valor de la incógnita es solución de la ecuación.

Veamos otro ejemplo:

Mauro es olvidadizo. Siempre que elige un número y le aplica una serie de operaciones, obtiene un resultado, pero nunca logra recordar el número que pensó al principio. Para obtenerlo, “deshace” las operaciones, comenzando por la última hasta llegar a la primera. Aplicando la propiedad uniforme.

•  Mauro usó un número al cual multiplicó por dos y luego sumó diez. Obtuvo como resultado doce ¿Qué número usó al principio de su operación? 

x . 2 + 10 = 12 

x . 2 = 12 – 10 

x = 2 : 2 

x = 1 

Actividad: Plantea la ecuación y halla la solución.

a) Marisa pensó un número. Luego lo elevó al cuadrado. Al resultado lo multiplicó por tres. Obtuvo doce ¿Qué número pensó?
b) Jorge pensó un número. Le sacó la raíz cúbica. Al resultado lo multiplicó por dos y le restó uno. Obtuvo cinco ¿Cúal es dicho número?
c) Nicolás pensó un número. Lo elevó al cuadrado. Luego lo dividió por dos. Obtuvo ocho ¿Cúal es dicho número?
d) Lucía pensó un número y lo multiplico por dos. Luego le sumo uno y obtuvo doce ¿Qué número pensó?
e) Marcelo pensó un número y lo multiplico por tres. Luego sum uno y obtuvo siete ¿Cuál es el número?

Ecuaciones

Una ecuación es una igualdad en la que aparece por lo menos una letra (incógnita) que representa un número desconocido. Resolver una ecuación es encontrar el valor de la incógnita que verifica la igualdad. Para verificarla se debe reemplazar el valor encontrado en la incógnita de la ecuación orginal y resolver el cálculo combinado planteado. Si la igualdad se cumple entonces la solución verifica la ecuación.

Ejemplo:        2 . x  = 18                                                       Verificación

                              x  = 18 : 2                                                  2 . x  = 18

                              x  =    9                                                        2 . 9  = 18

Ecuaciones en Q

Lenguaje Coloquial y Simbólico.

• Lenguaje Coloquial: Es el lenguaje de las palabras, que puede ser escrito u oral.

• Lenguaje Simbólico: Si observan con atención, pueden comprobar que existen distintos símbolos que se utilizan para dar información sin necesidad de usar las palabras, se puede mencionar las señales de tránsito como un ejemplo.

La matemática utiliza un lenguaje particular formado por números, letras y símbolos especiales. A este lenguaje se lo denomina simbólico o matemático.

Ejemplos:

Lenguaje Coloquial	Lenguaje Simbólico
El doble de un tercio aumentado en cinco unidades.	2 . 1/3 + 5
El triple de cuatro novenos es igual a doce novenos.	3.4/9 = 12/9
La mitad de un número	x : 2 = 1/2 x

Observación: A los números que no tienen asignado un valor determinado (incógnita) se los escribe con una variable (letra) como se vé en el tercer ejemplo.

Actividad:

1) Traducir de lenguaje:

Lenguaje Coloquial	Lenguaje Simbólico
Un número aumentado en tres cuartas partes.
El triple de un número disminuido en un medio.
La raíz cúbica de ocho veintisieteavos.
La mitad del siguiente de un número.
El anterior de un Número disminuido en un tercio.
La raíz cuadrada del cubo de un número.
El cubo del consecutivo de un número.

2) Traducir de Lenguaje.

a)  La raíz cúbica del consecutivo de un número

b)  El doble de un número aumentado en tres cuartos

c)   El cuadrado de un número disminuido en cinco sextos

d)  La tercera parte del anterior de un número

   Situaciones problemáticas

Resuelve en grupos las siguientes situaciones problemáticas.

PROBLEMA 2

Los siguientes son esquemas de baldosas que responden a un modelo establecido por una fábrica:

 • Para resolver los problemas ¿Qué fue necesario? 

 Leer atentamente el problema y llegar a comprender el enunciado.

 Identificar la incógnita, los datos y las condiciones del problema.

 Armar los esquemas con el material concreto y organizar los resultados en una tabla.

 Designar a la incógnita una variable (letra).

 Vincular los datos y la incógnita en forma tal que se pueda plantear una expresión algebraica o           una ecuación.

 Discutir e interpretar el resultado obtenido. Comparar con los compañeros.

 Enunciar las respuestas.

Diferencias y relación entre expresión algebraica y ecuación

• La expresión algebraica por ejemplo es la que utilizaron en el problema 1: 

3n+1 la cual no se encuentra igualada en primera instancia.

• Una ECUACIÓN es una igualdad en la que aparece, por lo menos, una variable (incógnita) que representa un valor desconocido.

Por ejemplo cuando igualaron la expresión algebraica 3n+1 a 1822 plantearon una ecuación 

3n+1 = 1822

• Resolver una ecuación es encontrar el valor (o los valores) de la incógnita que verifican la igualdad. 

Se llama conjunto solución al conjunto formado por el o los valores de la variable que hacen verdadera la igualdad.

Por ejemplo cuando resolvieron la ecuación que plantearon 3n+1=1822 donde n=607.

Actividad: 
Luego de leer y comprender el enunciado intenta realizar la traducción de lenguaje y plantear una ecuación que facilite la resolución del problema.

a) La tercera parte de un poste se pinta de rojo, la cuarta parte de verde y quedan 5 metros sin pintar. ¿Cuáles la altura del poste?
b) Una persona gasta la mitad del dinero que lleva en comida y las dos quintas partes del resto en el cine. Si aún le quedan $1800, ¿Cuánto dinero llevaba?
c) La tercera parte del anterior de un número es cuatro unidades mayor que la quinta parte de su consecutivo. ¿Cuál es el número?
d) Florencia y Andrea ahorraron $105. Si Florencia ahorró la sexta parte de lo que ahorró Andrea, ¿Cuánto dinero le corresponde a cada una?
e) Una persona gasta la sexta parte de su sueldo y luego las tres cuartas partes del resto. Si aún le quedan $375, ¿Cuál es su sueldo?
f) Una persona gasta $50 en la farmacia y luego los cinco sextos de lo que le queda en el supermercado. Si aún tiene $30, ¿Cuánto dinero llevaba?

Ecuaciones

Una ecuación es una igualdad en la que aparece por lo menos una letra (incógnita) que representa un número desconocido. Resolver una ecuación es encontrar el valor de la incógnita que verifica la igualdad. Para verificarla se debe reemplazar el valor encontrado en la incógnita de la ecuación original y resolver el cálculo combinado planteado. Si la igualdad se cumple entonces la solución verifica la ecuación.

Las ecuaciones con números racionales se resuelven aplicando los mismos procedimientos y propiedades que con los números enteros.

Actividad:

Sigamos practicando

A)

B)

Trabajo Práctico 

Apellido:                                                       Nombre:                                                                    Fecha:

Bibliografía: Cuadernillo de actividades de EET Nº1. Puerto de Palos, Matemática 3. 

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