Expresiones algebraicas. Polinomios

Expresiones algebraicas. Polinomios.

Una expresión algebraica es una combinación cualquiera y finita de números, de letras, o de números y letras, ligados entre sí con adición, sustracción, multiplicación, división, potenciación y radicación.
Ejemplos:        a) 2x + 3          b)  5x³ + 6x – 1/3          c)  x⁵           d)   - 2/5 x⁴

Los números son los coeficientes, y las letras, las variables o indeterminadas.

En este resumen encontrarás expresiones algebraicas con una sola variable.

Si la variable no está afectada por una raíz o como divisor, las expresiones algebraicas son enteras y se denominan POLINOMIOS.

Como los ejemplos, que son polinomios.

Clasificación de polinomios según su cantidad de términos:

Monomio, si tiene un solo término, como por ejemplo 1/2 x⁵.

Binomio, si tiene dos términos, como por ejemplo x³ + 4

Trinomio, si tiene tres términos, como por ejemplo x – 2/3 + x²

Cuatrinomio, si tiene cuatro términos, como por ejemplo 2x – 1/2 + 3x⁴ - 3/5 x⁷

Características de un polinomio:

•    Los términos que tienen la misma variable y exponente son semejantes como por ejemplo los términos 2x³ y 4/5 x³.
•   Se denomina grado al mayor exponente que tiene la variable de los términos con coeficientes no  nulos de un polinomio. Por ejemplo: P(x) = x⁵ + 7x – 2 es polinomio de grado cinco.     
•   Se llama coeficiente principal al que multiplica a la variable de mayor exponente. Por ejemplo si P(x) = x + 5 x ³ – 2 x⁴  el coeficiente principal es -2. Observación: Al polinomio cuyo coeficiente es 1 se lo llama normalizado.

Polinomios ordenados y completos: 

Un polinomio esta ordenado si sus términos están ordenados en forma creciente o decreciente respecto de los exponentes de la variable.

Por ejemplo si el polinomio esta ordenado de la siguiente forma:

P(x) = 3x⁴ + 1/2 x³ -2/3 x² +1

Un polinomio esta completo cuando tiene todas las potencias decrecientes del grado, como por ejemplo el polinomio 3x⁴ + 1/2 x³ -2/3 x² + 2x -1.

Sin embargo si el polinomio es 3x⁴ + 1/2 x³ -2/3 x² -1 está incompleto porque falta la variable x con exponente 1.

Para completar un polinomio se agregan los términos que faltan con coeficiente cero.
Si completamos el ejemplo anterior donde falta el término x con exponente cero quedaría de la siguiente forma:

3x⁴ + 1/2 x³ -2/3 x² + 0x -1

Actividades:

1) Clasificar de acuerdo a la cantidad de términos e identificar el grado, coeficiente principal y término independiente de cada uno de los siguientes polinomios.

P(x) = 6 + x³ + 3x – x²               Q(x) = 7x³ -2x⁵ + 4              R(x) = – x + 5x²

2)      Ordenar y completar cada uno de los siguientes polinomios.

P(x) = 5 x³ – 1            Q(x) = -27x³ + x⁴ + 2              R(x) = – 2 + 2x³ - x 

Adición y Sustracción de Polinomios.

Para sumar varios polinomios se identifican los términos semejantes y se opera con ellos.

Ej:               P(x) = 2x² + x – 2      y     Q(x) = x² + 1

Realizar : P(x) + Q(x) = 2x² + x – 2 + x² + 1 =

                   P(x) + Q(x) = 3 x² + x - 1

Para realizar una resta se utiliza el polinomio opuesto del sustraendo.

Ej: : P(x) = 2x² + x – 2 y Q(x) = x² + 1

Realizar : P(x) - Q(x) = 2x² + x – 2 - (x² + 1)

                   P(x) - Q(x) = 2x² + x – 2 - x² – 1

                   P(x) - Q(x) = x²  + x – 3

Actividad:

1) Dados los siguientes polinomios:

P(x) = - 2 x ³ + x ² - x + 3      ;     Q(x) = 3 x + 4 + x ³  - 2 x ²       y        R(x) = x ²– 5 x + 2

a) P(x) + Q(x) =                                        c) P(x) + R(x) =

b) P(x) - Q(x) =                                        d) R(x) – P(x) =

2) Dados los siguientes polinomios:

P(x) = x ² – 1            ;                 Q(x) = x ² + 1           y         R(x) = x ² + 2 x + 1

Resolver las siguientes sumas algebraicas.

a) P(x) - Q(x) - R(x) =                        

b) R(x) - Q(x) + P(x) =

• Revisar Propiedad Distributiva y Propiedades de la potenciación.

Producto de Monomios.

Cuando se multiplican dos monomios, el resultado es un monomio. Se debe multiplicar los coeficientes y las indeterminadas entre sí; aplicando regla de signos y propiedad de la potencia.

Ejemplo1: A(x) = 7 x ³   y B(x) = 6 x ¹⁰  A(x) . B(x) = 7 x ³. 6 x ¹⁰ = 7 . 6 . x³ . x ¹⁰ = 42x¹³

Ejemplo2: M(x) = 3x⁴  y N(x) = - 2 x⁵ entonces M(x) . N(x) = 3x⁴ . (- 2 x⁵) = 3 . (-2). x⁴ . x⁵ = -6 x ⁹

Producto de Polinomios.

Cuando se multiplican dos polinomios, el resultado es un polinomio. Su grado es igual a la suma de los grados de los polinomios factores, si estos no son nulos. 

Para multiplicar un polinomio por un número real, se aplica la propiedad Distributiva de la multiplicación respecto de la suma y resta.

Ejemplo: -3 . ( x³ +2x² + x – 4 ) =    -3x³ – 6x² – 1x + 12

Para multiplicar dos polinomios se aplica la propiedad Distributiva, efectuando luego la multiplicación de los monomios y utilizando la propiedad de la potenciación.

Ejemplo:       Dados:  P(x) = 2x² – 5x + 2       y     Q(x) = 3x² - x           Realizar:     P(x) . Q(x) 

P(x) . Q(x) =  (2x² – 5x + 2)  .  (3x² - x )         P(x) . Q(x) =  6x⁴ – 2x³  – 15x³  + 5x²   +  6x²  – 2x

P(x) . Q(x) =    6x⁴ – 17x³ + 11x² – 2x

Actividad: 

1) Resolver las siguientes multiplicaciones.

a)( 2x² ) . ( -6x )        b)1/2  . ( 8x ) =        c)-3 . ( x³ + x²  + ) =        d) (-2x) . ( x² + x - 1/2  ) =

2) Producto de polinomios: Resolver:

a)( x³ – x + 1) . ( x² – x) =               b) (x⁵ – x³ – x + 1) . (x-1) =                  c) (- x+x³ ). (2x – 3x² + 1) =

Actividades de fijación. 

Dados los siguientes Polinomios:         P(x) = x² + 1     ;     Q(x) = x³ + 2x² – 1       y      R(x) = x⁴ + 3

Resolver:         

a) P(x) + Q(x) = b) Q(x) – P(x) =

c) P(x) + R(x) – Q(x) = 

d) Q(x) . R(x) = 

e) R(x) . P(x) =

Operaciones combinadas. 

Las operaciones combinadas con polinomios se resuelven aplicando los mismos procedimientos y propiedades que con números reales.

Ejemplo: Dados:            P(x)= 5x² + 6x + 2        ;       Q(x) = 2x³ – x +6        y        R(x) = x² + 1

Resolver:        P(x) . R(x) + Q(x) =   (5x² + 6x + 2) . (x² + 1) + (2x³ – x +6) =         

                          (5x⁴+5x² +6x³+ 6x+2x²+2) + (2x³ – x +6)  entonces  = 5x⁴+7x²+8x³+5x+8

1) Resolver las siguientes operaciones combinadas dados los polinomios:

P(x) = 2x² + 3x – 1          ;        Q(x) = x + 1           y              R(x) = x³ - 2

Calcular:        

 a) P(x) . R(x) – Q(x) =

 b) P(x) . R(x) – Q(x) =

 d) Q(x) – P(x) . 2 = 

 e) Q(x) – P(x) . 2 =

2) Plantear los resultados ordenados.

Trabajo Práctico 

1) Completar y ordenar los siguientes polinomios. 

a) P(x) = x³ + 1                                 b) Q(x) = x ⁴  - x

2) Reconocer grado del polinomio, coeficiente principal y término independiente. Clasificarlos. 

a) R(x) = x³ - x⁴ + 2x

b) S(x) = x³ + x⁴ - x⁵ - 1

c) H(x) = x² + 3

3) Resolver los siguientes cálculos dados:

                                        P(x) = x² – 1     ;     Q(x) = - x+3      y       R(x) = x³–2x²+2

a) P(x) + Q(x) = 

b) R(x) – P(x) = 

c) P(x) . Q(x) = 

d) R(x) . P(x) = 

e) P(x) – Q(x) – R(x) =

Bibliografía: Carpeta de Matemática Aique 1. Matematica 1 Activa, Puerto de Palos. Cuadernillo de EET Nº1. Matemática 5es Estrada, Huella.