Números Racionales. Fracciones 1er año

Bibliografia: Matemática 7, Fabian Jesé. Matemática 7, Aique. Puerto de Palos. 

Puntos en el Plano

¿¿¿Jugamos???

Matemática y juego constituyen un binomio que permite una aproximación a los temas de manera distinta y divertida, tal es el caso de las coordenadas cartesianas. 

El objetivo de este juego es familiarizarse con el lenguaje de las coordenadas a la vez de procurar entretenimiento.

Este juego es similar a la "Batalla naval" o "Batalla aérea", pero aquí trabajamos con dos coordenadas numéricas.

Puntos en el plano.

Para ubicar puntos en el plano hay que tener claro la forma y el orden.

Una forma gráfica para representar expresiones algebraicas es por medio de un eje o plano cartesiano, el cual consta de dos rectas numéricas perpendiculares, una horizontal llamada eje de abscisas o eje x, y una vertical  llamada eje de ordenadas o eje y, las cuales se intersecan en un punto que recibe el nombre de origen de coordenadas.

Para marcar puntos en el plano hay que tener en cuenta las coordenadas. Cada punto es un par ordenado donde la variable x se encuentra en primer lugar y la variable y en segundo lugar, P(x;y)

Veamos otro vídeo explicativo:

Bibliografia: Revista tercer ciclo. Matemática II, Nuevamente Santillana. 

FUNCIÓN LINEAL.

FUNCIÓN LINEAL.

CONCEPTO DE FUNCIÓN

Formalmente, una función es una relación entre dos variables de manera que, a cada valor de la primera, le corresponde un único valor en la segunda. 

A estas variables se les denomina:

Independiente: Corresponde a la primera variable y se le suele asignar la letra x.

Dependiente: Es la que se deduce de la variable independiente y se le suele designar con la letra y, o como f (x).

Elementos de una función.

Una función está constituida por: El dominio y la imagen (el recorrido de la función).

Analizaremos cada uno de estos conceptos:

· Llamaremos dominio de la función y lo escribiremos Dom f (x) al conjunto de todos los valores que puede tomar la variable independiente.

· El conjunto formado por los valores que puede tomar la variable dependiente se denomina recorrido o imagen de la función y lo escribiremos Im f (x).

 

FUNCIONES EN LA VIDA COTIDIANA

A continuación, veremos un ejemplo en la que se utiliza una función lineal: 

Existe una relación entre el número de minutos que hablamos cuando realizamos una llamada desde un celular de prepago y el monto de dinero que debemos pagar. 

En cierta compañía si se habla un minuto debe pagar $ 10, si habla 2 minutos $ 20, y así sucesivamente. 

Esta situación se puede representar como una función que relaciona la variable «número de minutos hablados» con la variable «monto que pagamos a la compañía». 

En este caso, el número de minutos hablados será la variable independiente, y el monto que cancelaremos será la variable dependiente y = f (x), porque depende del número de minutos que hablamos. 

Al representar esta situación como una función tenemos: 

f (x) = 10 x

TABULACIÓN DE VALORES DE UNA FUNCIÓN

Para realizar una tabla de valores de una función debemos elegir un conjunto de valores de la variable independiente y evaluar la función en cada uno de esos valores. Esta tabla nos ayudará a organizar datos y a graficar, pues con ella obtendremos los puntos que debemos ubicar en el plano cartesiano para realizar la gráfica de la función.

x	Y=10x
1	Y= 10.1=10
2	Y= 10.2=20
3	Y= 10.3=30
4	Y= 10.4=40

GRÁFICO

Las funciones lineales pueden llevarse a un gráfico en el plano cartesiano. Se puede observar que la gráfica es una RECTA en todos los casos.

Baja el graficador GeoGebra de su sitio oficial http://www.geogebra.org/cms/es/ 

Se denomina función lineal a aquella de la forma: 

m recibe el nombre de pendiente y representa la inclinación de la recta.

n recibe el nombre de ordenada al origen y representa la intersección de la gráfica con el eje y.

Es fácil reconocerla en el gráfico: es el número que se lee en el eje y donde la recta lo corta.

Actividad:

Plantea la función que representa cada situación, confecciona una tabla de valores y construye el grafico.

1) Juan es un taxista que cobra $28 por bajada de bandera y $ 6 por cada tramo de 200 metros recorridos. Si llamamos x al número de tramos recorridos, la función que permite determinar el costo de un viaje en el taxi de Juan es………………………..

2) Un alumno faltó a una clase de matemática y decidió sacar fotocopias al cuaderno de su compañero. Si cada fotocopia vale $ 2 y debe calcular cuánto dinero necesita para pagar las fotocopias ¿Qué función lineal necesitará?

3) Un recipiente vacío comienza a llenarse con agua a ritmo constante. Al cabo de un minuto la altura del nivel del agua es de 3 cm. A los dos minutos, de 6 cm, y así, sucesivamente. Escriba una función que represente la altura del nivel del agua, considerando el tiempo transcurrido.

4) El dueño de una mueblería paga a los carpinteros un sueldo base de $ 20.000 más $50 por cada mueble terminado. Considere las variables, sueldo de un carpintero, y cantidad de muebles terminados.

5) Para la compra de entradas vía web el teatro cobra $80 por uso del servicio sumado al costo de las entradas que es de $500. 

Bibliografía: Matemática II, Nuevamente, Santillana. Entre números III Matemática, Santillana. GeoGebra.

Función Polinómica

Una función de la forma f(x) =  a_n  xⁿ + a_n-1   x^n-1  + ………….. + a₂  x²  + a₁  x¹ + a₀  x⁰ ,

Siendo n un número natural y a números reales, es una función polinómica.
- El dominio de las funciones polinómicas es el conjunto de los números reales.
- Las funciones polinómicas son continuas.
- Si an ≠ 0, entonces la función es de grado n.

Función.	Grado
F(x) = 2x4 + 3x3 – 2x2 – 4x - 3	Cuatro
F(x) = x3 - 4	Tres
F(x) = 3 x + 6	Uno

Orden de multiplicidad:

Se llama orden de multiplicidad de una raíz a la cantidad de veces que la raíz se repite como tal.
Para determinar el comportamiento de una función polinómica respecto del eje x (eje de abscisas), hay que factorizar el polinomio, f(x) = a_n ( x – x₁) ( x – x₂ ) … ( x - x_n-1 ) (x - x_n ), y
determinar el orden de multiplicidad de sus raíces.

1) Si el orden de multiplicidad de la raíz es PAR, la gráfica de la función toca el
eje x pero no lo atraviesa, REBOTA.

- Completa la siguiente tabla de valores y gráfica la siguiente función: f(x) = (x-1)² 

x	f(x) =	y
0
1
2
3
-1
-1/2

Ya conocemos las funciones cuadráticas, estas son funciones polinómicas de segundo grado. Si a estas las multiplicamos por un binomio obtenemos funciones polinómicas de grados mayor a 2.

2) Si el orden de multiplicidad de la raíz es IMPAR, la gráfica de la función atraviesa el eje x, CORTA.
- Completa la siguiente tabla de valores y grafica la siguiente función: f(x) = (x-3)³

x	f(x) =	y
1
2
3
4
5

Teorema de Bolzano:
Si una función f(x) es continua en un intervalo de su dominio, y tiene distinto signo en los extremos del mismo, entonces tiene por lo menos una raíz real en ese intervalo.

Como consecuencia del teorema anterior, entre dos raíces reales consecutivas la función adopta solo valores positivos o negativos.

Conjunto de positividad (C+) y Conjunto de negatividad (C-) .

- El conjunto de positividad está formado por todos los valores del dominio para los cuales la función es positiva (la gráfica se encuentra sobre el eje de las abscisas).
 - El conjunto de negatividad está formado por todos los valores del dominio para los cuales la función es negativa (la gráfica se encuentra debajo el eje de ordenadas).
- Los conjuntos de positividad y negatividad quedan determinadas por las raíces de la función.

Crecimiento y decrecimiento de una función.

- Una función continua es creciente en un cierto intervalo se su dominio cuando al aumentar los valores de la variable independiente, aumentan los valores de la variable dependiente.
- Una función continua es decreciente en un cierto intervalo de su dominio cuando al aumentar la variable independiente, disminuyen los valores de la variable dependiente.
- En la función polinómica anterior los intervalos crecientes son ( - ∞; d) y (e; + ∞),

y decrecientes en (d;e).

Gráfico aproximado.

Para realizar el gráfico aproximado de una función polinómica se debe:
· Hallar la ordenada al origen, la cual está determinada por el punto de intersección de la gráfica con el eje y donde siempre x = 0.
· Factorizar el polinomio:
- Hallar las raíces, las cuales representan la intersección de la gráfica con el eje x donde y=0.
- Observar el orden de multiplicidad de las raíces que indican si la gráfica rebota o atraviesa el eje x.
· Hallar los conjuntos de positividad y negatividad ( C+ y C- ). Para esto se buscan valores del dominio entre dos raíces consecutivas para determinar si la función es positiva o negativa en ese intervalo.

Ø  Ejemplo: Realizar el gráfico aproximado de f(x) = (x-1/2 ) . (x+1)² . (x+3)
1°) Ordenada al origen entonces  x = 0 

Debemos reemplazar en la función a x por cero y resolver:

 y = (0- 0,5) . (0+1)² . (0+3) = -0,5 . 1 . 3 = - O (-3/2 ; 0 )

2°) Raíces  entonces y = 0
Debemos encontrar los valores de x que anulan cada paréntesis de la función:

x =1/2    ; x = -1 ; x = -3  entonces R1 (0,5 ; 0 ) ; R2 ( -1 ; 0 ) ; R3 ( -3 ; 0 )

3°) Orden de multiplicidad: Si el exponente del paréntesis de la función es par la gráfica rebota en esa raíz y si el exponente es impar la gráfica atraviesa en esa raíz.

R1 = atraviesa ; R2 = rebota ; R3 = atraviesa.

4°) Conjuntos de positividad y negatividad ( C+ y C- ).
Elijamos cualquier valor que se encuentre entre los intervalos formados por las raíces de la función y calculemos su imagen para saber si es positiva o negativa.

Ø  f(-4) = (-4-0,5 ) . (-4+1)² . (-4+3) = 81/2

Ø  f(-2) = (-2- ) . (-2+1)² . (-2+3) = -5/2

Ø  f(0) = (0- ) . (0+1)² . (0+3) = -3/2

Ø  f(1) = (1- ) . (1+1)² . (1+3) = 8

Gráfico aproximado:

Bibliografia: Logikamene, Juan Pablo Pisano. Puerto de Palos, Matemática 1, Activa. Uso del programa GeoGebra.

Números Enteros.

Recta numérica. Orden en Z.

El tiempo (en el diario)

Utilicemos un mapa extraído del diario donde se encuentran marcadas las temperaturas máximas y mínimas de algunas ciudades argentinas.

(Extraído del Diario Clarín).

1) Completar el siguiente cuadro:

Ciudades	Temperaturas Mínimas	Temperaturas Máximas
Ushuaia
Punta Arena
Rio Gallego
Bariloche
C. Rivadavia
Mendoza
Bahía Blanca
Córdoba

2) Ubicar las temperaturas del cuadro en la recta numérica.

3) Ordenar las temperaturas del cuadro de menor a mayor.

Representación en la recta numérica. Orden.

1) Completar:

Para representar los números enteros en la recta numérica elegimos un punto sobre ella, al que asignamos el número…………………………. y adoptamos una unidad.

Hacia la derecha del cero, representamos los números …………………………………………… y hacia la ………………………………………………. los números …………………………………………………..

2) Completar con menor, mayor o igual según corresponda.

Todo número entero positivo es ……………………………… que todo número entero negativo.

El cero es ……………………………… que todo número entero positivo y …………………………. que todo número entero negativo.

Si dos números enteros son positivos es ……………………… el que está a menor distancia del cero.

Si dos números enteros son negativos, es menor el que está a ……………………………… distancia del cero.

3) Expresar con un número entero cada una de las siguientes situaciones.

a) Está a 10 metros de altura.

b) Está en el 3er subsuelo del edificio.

c) Se descubrió en el año 7 después de cristo.

d) Nació en el año 5 antes de cristo.

e) La temperatura es de 10 grados bajo cero.

f) Sube 5 pesos.

g) No tiene dinero.

h) Tengo una deuda de 2 pesos.

i) Hoy hace 9 grados bajo cero.

j) Tengo 5 películas.


Para representar números enteros en la recta numérica se deben seguir algunos pasos:
1° Se ubica el cero sobre la recta numérica.

2°Se determina la distancia entre dos números enteros consecutivos.

3°Se ubican los números negativos a la izquierda del cero y los positivos a la derecha del mismo, respetando la distancia elegida (unidad).

 A partir de la representación en la recta, se puede decir que un número es mayor que cualquier número que se encuentre a su izquierda y menor que cualquier otro que se encuentre a su derecha.

Actividad:

a) Ubicar en la recta numérica los números de la actividad anterior.

b) Ordenar de menor a mayor.

c) Colocar mayor, menor o igual según corresponda


a)  -2 ………… 2        b)  7 …………. -1           c)  0 …………. -3       d)-1 ………………. -5



e)  -4 …………. -7    f) 9 ……………. +9         g) -8 ………… -6       h)  -9 ………………. -10

Números Naturales

Números Naturales
Operaciones combinadas en N.

Si hay varias sumas o restas y varias multiplicaciones o divisiones, es necesario separar en términos, siempre de los más o menos a los más o menos fuera de paréntesis.

- Florencia tiene $50 y necesita comprar 4 cuadernos de $5 cada uno, 1 regla de $3 y 3 marcadores de $1 cada uno ¿Con cuánto dinero se quedara luego de pagar?

Expresa la operación y resuelve:
                                                              4 . $5 + 1 . $3 + 3 . $1 =

                                                                  = 20 + 3 + 3 = 26
Rta:

Actividad:

1) Resolver los siguientes problemas planteando el cálculo y planteando la respuesta.

a) Sofía tiene $200 y necesita comprar 2 latas de duraznos de $15 cada una; 1 gaseosa de $20 y 3 kilos de pan de $12 cada uno ¿Le sobrara dinero?

b) Marcos compro 5 paquetes de figuritas a $6 cada una; 7 chocolates a $3 y 4 latas de gaseosas a $7¿Cuánto dinero gasto en total?

2) Separar en términos y resolver las siguientes operaciones combinadas.

a) 2 . 3 +20 : 5 – ( 16 – 14 ) =

b) 26 : 13 – ( 21 : 3 – 6 ) =

c) 24 : 8 + 6 . 8 – ( 24 : 12 ) =

d) 16 : 8 . 3 + 21 : 3 – (17 – 15) =

Propiedad Distributiva. 

La multiplicación cumple con una propiedad llamada DISTRIBUTIVA respecto de la suma o la resta.

Para multiplicar una suma o resta entre paréntesis por un número natura, se puede multiplicar cada término, y después sumar o restar los resultados parciales de las multiplicaciones.

Veamos un ejemplo:

                                      ( 5 + 3 - 2 ) . 4 = 5 . 4 + 3 . 4 – 2 . 4 = 20 + 12 – 8 = 32 – 8 = 24

Debido a que la multiplicación cumple con la propiedad Conmutativa (cambio los factores y no se modifica el resultado), esta operación se puede plantear también de la siguiente manera:

4 . ( 5 + 3 - 2 ) = 4 . 5 + 4 . 3 – 4 . 2 = 20 + 12 – 8 = 32 – 8 = 24

Actividad:
1) Aplicar la propiedad distributiva y conmutativa en cada ejercicio planteado.

a) 5 . ( 18 + 2 ) =                                                           f) 4 . ( 7 – 2 + 3 ) =

b) 3 . ( 100 + 9 ) =                                                        g) 8 . ( 9 + 5 – 3 ) =

c) 7 . ( 20 – 5 ) =                                                           h) 12 . ( 3 + 6 – 5) =

d) 6 . ( 7 – 4 ) =                                                             i) 2 . ( 16 – 4 + 12 ) =

e) 21 . ( 4 – 2 + 5 ) =                                                     j) 9 . ( 7 – 4 + 8 ) =

2) Resolver los siguientes cálculos combinados aplicando propiedad distributiva.

a) 21 : 3 + 2 . ( 5 – 3 ) =

b) 16 – 5 . ( 2 – 3 ) =

c) 28 : 9 . 5 + ( 7 – 5 ) . 3 =

d) 7 . ( 3 + 2 ) – 20 : 4 =

e) 21 : 7 + 2. 4 – 6 . ( 4 – 2 ) =

Potenciación de números naturales (N).

Ø  El exponente indica cuantas veces aparece la base como factor.

Ø  Si el exponente es 2, se lee: al cuadrado.

Ø  Si el exponente es 3, se lee: al cubo.

Ø  Si el exponente es 4, se lee: “a la cuarta”; si es 5, “a la quinta”, y así sucesivamente.

Actividad: Resolver realizando el paso intermedio.

a)       5² =                                                      c) 2⁵ =                                                            e) 3⁴ =

b)      4³ =                                                      d) 1⁷ =                                                             f) 6² =

Tarea: Resolver, comparar y responder.
Si un número esta elevado al exponente cero ¿Cuál es su resultado? Extrae una conclusión.

2⁰ =                                                                                          3⁰ =

2¹ =                                                                                          3¹ =

2² =                                                                                          3² =

2³ =                                                                                          3³ =

2⁴ =                                                                                          3⁴ =

2⁵ =                                                                                         

Potencias especiales:
Si el exponente es 1, la potencia es igual a la base. Si el exponente es 0, la potencia es 1.

7¹ = 7                 25¹ = 25                   348¹ = 348                2⁰ = 1                  9⁰ = 1         76⁰ = 1

Cálculos combinados

Al igual que en cálculos combinados que involucran las operaciones básicas vamos a separar en términos y utilizar propiedades.
Es importante tener presente la columna de cálculos auxiliares que nos permitirán mejor organización y resolución.

                                              

Ejemplo de resolución:         ( 20 : 5 )² – 2 . 3 + 7⁰ =                                (cálculos auxiliares)

                                                      =    ( 4 ) ²   -     6    +  1  =                      

                                                      =     16      -    6     +  1   =    11                

Actividad: Resolver los siguientes cálculos combinados.

a)      ( 2 . 5 )⁰   + 49 : 7 – 2²  =                                                 d)  26 : 13 + 5²  - 7 . 9⁰  =

b)     ( 15 : 5 ) ² + 2³  - 1 =                                                        e)  6⁰  . 3 + ( 16 : 2 ) ⁰ + 3³  =

c)      ( 5 – 3 ) ⁴ – 4²  + 21 : 7 =                                                f)  ( 2² . 18 – 4 ) : 17 =

Tarea:

1) Resolver realizando los pasos intermedios.

a)      6³ =                            d)  2⁴ =                             g) 1⁵ =

b)     7² =                            e)  8³ =                             h)  0⁶ =

c)      5⁰ =                             f)   9² =                            i)  1⁷ =

2)  Resolver las siguientes operaciones.

a)      ( 8 + 4 ) : 2² + 12 . ( 2³ – 5 ) =

b)     1350 : 75 + 6² . 13 – 46 . 10 =

c)      ( 2² . 18 – 4 ) : 17 =

d)     5³ : 5 – ( 16 : 4 ) ² =

e)      ( 2 . 3³ + 4 ) . 2 =

f)       ( 7 – 2² + 18 ) : ( 6 + 1 ) =

g)      4³ + 144 =
                                             

Radicación.

La radicación es la operación inversa de la potenciación. Si 24 = 16, entonces

Otro ejemplo:

Bibliográfica: Matemática 6, Libro para el docente Kapelusz ; Matemática 7, ciencia en foco, Aique; Matemática 7, Fabián Jesé, Nuevas propuestas.