30 de agosto de 2012

Función exponencial.




El modelo exponencial


En la actualidad, la mayoría de las entidades financieras trabajan dando interés compuesto sobre los depósitos. Sintéticamente, esto significa que los intereses se acoplan al capital y también generan interese.

En este caso consideraremos un banco que otorga intereses de forma tal que el capital depositado se duplica al cabo de cada año transcurrido.

Supongamos que una persona deposita $1 en este banco y que no hace ningún retiro.

a) Completen la siguiente tabla y realice el gráfico correspondiente.

Tiempo transcurrido ( años )
Dinero acumulado ( $ )
0
1
1
2
2

3

4

5

6

7


b)  Encuentren una fórmula que permita calcular el dinero acumulado D (y) en función de T (x) transcurrido.


La función Exponencial 

Llamamos función exponencial a todo función cuya expresión sea de la forma:

F(x) = k . a x  + b

Donde k pertenece a reales; a pertenece a reales; b también pertenece a reales y tanto k como a son distinto de cero.

El dominio de estas funciones es R. Al representarlas gráficamente, se obtienen curvas crecientes o decrecientes en todo su dominio, que tienen al eje de abscisas como asíntota horizontal.

Una asíntota es una recta a la cual la curva se aproxima indefinidamente, sin llegar a tocarla.



Actividad:

1)      Consideren la función  f(x) = 2 x  cuyo dominio es R.

a)      Completen la tabla de valores y grafique la función.

x
y = 2 x
y
P(x;y)
0



1



2



3



-1



-2



-3




b)  Observen el gráfico que hicieron y respondan.

1) ¿f(x) es una función creciente o decreciente?

2) ¿Tiene algún punto de contacto con el eje de ordenadas? ¿Cuál?

3) ¿Tiene algún punto de contacto con el eje de abscisas? ¿Cuál?

4) ¿Cuál es la recta que representa la asíntota?

5) ¿Cuál es el conjunto imagen de f(x)?


2) Representen en un mismo eje estas funciones:

a)      f(x) = 2 x  ;  g(x) = (1/2) x
b)      h(x) = 4 x ;  m(x) = (1/4) x


3)   Observando los gráficos realizados completa:

Las gráficas de f y g son simétricas con respecto al eje …………………………………

Las gráficas de h y m son simétricas con respecto al eje ………………………………...

Las funciones ………………………..son crecientes y las funciones …………………..

son decrecientes.


Función exponencial de la forma f(x) = k a x + b



·         Grafiquen las siguientes funciones y realicen una comparación entre ellas.

f (x) = 3 x + 1          ;           g (x) = 3 x – 2          y             h (x) = 3 x

·        Completen la siguiente tabla.

Función
k
a
b
Asíntota
Imagen
f(x) = 3x + 1





g(x) = 3x - 2





h(x) = 3x







Síntesis:

Como has podido observar comparando los gráficos y analizando las funciones la asíntota está determinada por el término independiente de la función. Esta condiciona el conjunto imagen pero no el dominio de las funciones exponenciales.

Gráfico:



·         Grafiquen los siguientes pares de funciones en un mismo eje. Realiza el análisis de cada función y extrae una conclusión.

a)    f (x) = -1 . 2 x + 1          ;           g (x) = 2 x – 1       

b)   h (x) = -1 . 3 x + 2          ;           i (x) = 3 x – 2        




Función exponencial de la forma
f(x) = k . a x – c


A partir de una función exponencial de puede representar gráficamente una de la forma

f(x) = k . a x – c


La gráfica se desplaza hacia la derecha o izquierda, según corresponda.



Actividad:

· Graficar en el mismo eje y analizar las siguientes funciones exponenciales. 

1.       g(x) = 2 x + 1
2.       h(x)= 2x – 1
3.       f(x) =2x


Síntesis:


Si a la fórmula de una función exponencial se le suma un valor c la gráfica de la misma se desplaza asi la izquierda.
Si a la fórmula de una función exponencial se le resta un valor c la gráfica de la misma se desplaza asi la derecha.
En ambos casos no se modifica la asíntota e imagen de la función.

Gráfico:



Actividad integradora:

· Graficar y analizar cada función.

1.       f(x)= 2 x + 2  -1
2.       g(x)= 2 x –2  + 1
3.       h(x)= 2 x  - 2
4.       i(x)= 2 x   + 2
5.       j(x)= 2 x + 1


Bibliografía: Carpeta de Matemática I, Aique.