12 de agosto de 2015

Puntos en el Plano

¿¿¿Jugamos???

Matemática y juego constituyen un binomio que permite una aproximación a los temas de manera distinta y divertida, tal es el caso de las coordenadas cartesianas. 
El objetivo de este juego es familiarizarse con el lenguaje de las coordenadas a la vez de procurar entretenimiento.

Este juego es similar a la "Batalla naval" o "Batalla aérea", pero aquí trabajamos con dos coordenadas numéricas.

Puntos en el plano.

Para ubicar puntos en el plano hay que tener claro la forma y el orden.
Una forma gráfica para representar expresiones algebraicas es por medio de un eje o plano cartesiano, el cual consta de dos rectas numéricas perpendiculares, una horizontal llamada eje de abscisas o eje x, y una vertical  llamada eje de ordenadas o eje y, las cuales se intersecan en un punto que recibe el nombre de origen de coordenadas.





Para marcar puntos en el plano hay que tener en cuenta las coordenadas. Cada punto es un par ordenado donde la variable x se encuentra en primer lugar y la variable y en segundo lugar, P(x;y)
Veamos otro vídeo explicativo:





Bibliografia: Revista tercer ciclo. Matemática II, Nuevamente Santillana. 

7 de agosto de 2015

Concepto de FUNCIÓN . Función lineal y afín.

Concepto de función y relación.


Función lineal y afín.

La formula de función lineal tiene este aspecto: y = m.x + b

  • m es la pendiente que indica cuanto varia y cada vez que x aumenta en unidad.
  • b es la ordenada al origen. Tiene este nombre porque es la ordenada que le corresponde al 0 de las abscisas, o sea, es el valor de y cuando x = 0                                                                         Es fácil reconocerla en el gráfico: es el numero que se lee en el eje y donde la recta lo corta.
  • El gráfico de una función lineal esta formado por puntos que pertenecen a la misma recta.
- En un videoclub se ofrece la siguiente promoción:
  • Si usted paga un abono mensual de $30, le cobraremos $5 por cada película que alquile durante un año.
Daniel es un cliente que acepta la promoción y lleva un registro de sus gastos anuales en el alquiler de películas.

a) Completar la tabla y representar los valores.

x (cantidad de películas)  :  0 ; 1 : 2 : 3 : 4 : 5 : 6 .
y ( gastos total en $ ) : 30 ; .......................................

b) Armar el gráfico.

c) ¿Cual sera la formula?




Bibliografia: Matemática II, Nuevamente, Santillana. 


29 de mayo de 2015

Función Polinómica

Una función de la forma f(x) =  an  xn + an-1   xn-1  + ………….. + a2  x2  + ax1 + ax0 ,
Siendo n un número natural y a números reales, es una función polinómica.
- El dominio de las funciones polinómicas es el conjunto de los números reales.
- Las funciones polinómicas son continuas.
- Si an ≠ 0, entonces la función es de grado n.

Función.
Grado
F(x) = 2x4 + 3x3 – 2x2 – 4x - 3
Cuatro
F(x) = x3 - 4
Tres
F(x) = 3 x + 6
Uno

Orden de multiplicidad:

Se llama orden de multiplicidad de una raíz a la cantidad de veces que la raíz se repite como tal.
Para determinar el comportamiento de una función polinómica respecto del eje x (eje de abscisas), hay que factorizar el polinomio, f(x) = an ( x – x1) ( x – x2 ) … ( x - xn-1 ) (x - xn ), y
determinar el orden de multiplicidad de sus raíces.

1) Si el orden de multiplicidad de la raíz es PAR, la gráfica de la función toca el
eje x pero no lo atraviesa, REBOTA.

- Completa la siguiente tabla de valores y gráfica la siguiente función: f(x) = (x-1)2 

x
f(x) =
y
0


1


2


3


-1


-1/2



Ya conocemos las funciones cuadráticas, estas son funciones polinómicas de segundo grado. Si a estas las multiplicamos por un binomio obtenemos funciones polinómicas de grados mayor a 2.

2) Si el orden de multiplicidad de la raíz es IMPAR, la gráfica de la función atraviesa el eje x, CORTA.
- Completa la siguiente tabla de valores y grafica la siguiente función: f(x) = (x-3)3

x
f(x) =
y
1


2


3


4


5





Teorema de Bolzano:
Si una función f(x) es continua en un intervalo de su dominio, y tiene distinto signo en los extremos del mismo, entonces tiene por lo menos una raíz real en ese intervalo.


Como consecuencia del teorema anterior, entre dos raíces reales consecutivas la función adopta solo valores positivos o negativos.

Conjunto de positividad (C+) y Conjunto de negatividad (C-) .

- El conjunto de positividad está formado por todos los valores del dominio para los cuales la función es positiva (la gráfica se encuentra sobre el eje de las abscisas).
 - El conjunto de negatividad está formado por todos los valores del dominio para los cuales la función es negativa (la gráfica se encuentra debajo el eje de ordenadas).
- Los conjuntos de positividad y negatividad quedan determinadas por las raíces de la función.




Crecimiento y decrecimiento de una función.

- Una función continua es creciente en un cierto intervalo se su dominio cuando al aumentar los valores de la variable independiente, aumentan los valores de la variable dependiente.
- Una función continua es decreciente en un cierto intervalo de su dominio cuando al aumentar la variable independiente, disminuyen los valores de la variable dependiente.
- En la función polinómica anterior los intervalos crecientes son ( - ∞; d) y (e; + ∞),
y decrecientes en (d;e).


Gráfico aproximado.

Para realizar el gráfico aproximado de una función polinómica se debe:
· Hallar la ordenada al origen, la cual está determinada por el punto de intersección de la gráfica con el eje y donde siempre x = 0.
· Factorizar el polinomio:
- Hallar las raíces, las cuales representan la intersección de la gráfica con el eje x donde y=0.
- Observar el orden de multiplicidad de las raíces que indican si la gráfica rebota o atraviesa el eje x.
· Hallar los conjuntos de positividad y negatividad ( C+ y C- ). Para esto se buscan valores del dominio entre dos raíces consecutivas para determinar si la función es positiva o negativa en ese intervalo.
Ø  Ejemplo: Realizar el gráfico aproximado de f(x) = (x-1/2 ) . (x+1)2 . (x+3)
1°) Ordenada al origen entonces  x = 0 
Debemos reemplazar en la función a x por cero y resolver:
 y = (0- 0,5) . (0+1)2 . (0+3) = -0,5 . 1 . 3 = - O (-3/2 ; 0 )
2°) Raíces  entonces y = 0
Debemos encontrar los valores de x que anulan cada paréntesis de la función:
x =1/2    ; x = -1 ; x = -3  entonces R1 (0,5 ; 0 ) ; R2 ( -1 ; 0 ) ; R3 ( -3 ; 0 )
3°) Orden de multiplicidad: Si el exponente del paréntesis de la función es par la gráfica rebota en esa raíz y si el exponente es impar la gráfica atraviesa en esa raíz.
R1 = atraviesa ; R2 = rebota ; R3 = atraviesa.
4°) Conjuntos de positividad y negatividad ( C+ y C- ).
Elijamos cualquier valor que se encuentre entre los intervalos formados por las raíces de la función y calculemos su imagen para saber si es positiva o negativa.
Ø  f(-4) = (-4-0,5 ) . (-4+1)2 . (-4+3) = 81/2
Ø  f(-2) = (-2- ) . (-2+1)2 . (-2+3) = -5/2
Ø  f(0) = (0- ) . (0+1)2 . (0+3) = -3/2
Ø  f(1) = (1- ) . (1+1)2 . (1+3) = 8


Gráfico aproximado:




Bibliografia: Logikamene, Juan Pablo Pisano. Puerto de Palos, Matemática 1, Activa. Uso del programa GeoGebra.





9 de abril de 2015

Números Enteros.

Recta numérica. Orden en Z.

El tiempo (en el diario)

Utilicemos un mapa extraído del diario donde se encuentran marcadas las temperaturas máximas y mínimas de algunas ciudades argentinas.

(Extraído del Diario Clarín).

1) Completar el siguiente cuadro:

Ciudades
Temperaturas Mínimas
Temperaturas Máximas
Ushuaia


Punta Arena


Rio Gallego


Bariloche


C. Rivadavia


Mendoza


Bahía Blanca


Córdoba



2) Ubicar las temperaturas del cuadro en la recta numérica.

3) Ordenar las temperaturas del cuadro de menor a mayor.


Representación en la recta numérica. Orden.

1) Completar:

Para representar los números enteros en la recta numérica elegimos un punto sobre ella, al que asignamos el número…………………………. y adoptamos una unidad.

Hacia la derecha del cero, representamos los números …………………………………………… y hacia la ………………………………………………. los números …………………………………………………..

2) Completar con menor, mayor o igual según corresponda.

Todo número entero positivo es ……………………………… que todo número entero negativo.

El cero es ……………………………… que todo número entero positivo y …………………………. que todo número entero negativo.

Si dos números enteros son positivos es ……………………… el que está a menor distancia del cero.

Si dos números enteros son negativos, es menor el que está a ……………………………… distancia del cero.

3) Expresar con un número entero cada una de las siguientes situaciones.

a) Está a 10 metros de altura.

b) Está en el 3er subsuelo del edificio.

c) Se descubrió en el año 7 después de cristo.

d) Nació en el año 5 antes de cristo.

e) La temperatura es de 10 grados bajo cero.

f) Sube 5 pesos.

g) No tiene dinero.

h) Tengo una deuda de 2 pesos.

i) Hoy hace 9 grados bajo cero.

j) Tengo 5 películas.


Para representar números enteros en la recta numérica se deben seguir algunos pasos:
1° Se ubica el cero sobre la recta numérica.

2°Se determina la distancia entre dos números enteros consecutivos.

3°Se ubican los números negativos a la izquierda del cero y los positivos a la derecha del mismo, respetando la distancia elegida (unidad).
 A partir de la representación en la recta, se puede decir que un número es mayor que cualquier número que se encuentre a su izquierda y menor que cualquier otro que se encuentre a su derecha.


Actividad:

a) Ubicar en la recta numérica los números de la actividad anterior.

b) Ordenar de menor a mayor.

c) Colocar mayor, menor o igual según corresponda


a)  -2 ………… 2        b)  7 …………. -1           c)  0 …………. -3       d)-1 ………………. -5



e)  -4 …………. -7    f) 9 ……………. +9         g) -8 ………… -6       h)  -9 ………………. -10


A Jugar:
Reglas del juego:
-Son como máximo 4 jugadores ( o grupos) y dos dados ( o dos tiradas ), una a favor y una en contra.
-Se tira un dado para decidir el orden. El mayor valor comienza a jugar primero.
-Todas las fichas se ubican en el cero. La primera tirada es en contra y la segunda a favor.
-Gana el primero en tocar tierra y pierde el que toque agua (sin rebote).

¡ A jugar !

Actividad:

1) Juega con amigos, padres, tíos, hermanos o vecinos y registra todo lo sucedido en la siguiente tabla.

Jugador 1
Jugador 2
Jugador 3
Jugador 4


























































Suma de Números Enteros en la recta numérica.
Sigamos jugando:

























a) Si obtengo en contra 4 y a favor 2 ¿Que casillero poseo?
b) Obtengo 1 en contra y 5 a favor ¿Que casillero poseo?

Bueno, ahora reemplacemos el tablero por la recta numérica y coloquemos un punto sobre la recta en el resultado.

Actividad:

Plantea la operación como en los ejemplos y resuelve en la recta numérica.
a) Obtuve 2 en contra y 5 a favor ¿En qué casillero estoy?
b) Obtuve 7 en contra y 5 a favor ¿En qué casillero estoy?
c) Obtuve 5 en contra y 5 a favor ¿En qué casillero estoy?
d) Obtuve 3 en contra y 3 a favor ¿En qué casillero estoy?
e) Obtuve 9 en contra y 7 a favor ¿En qué casillero estoy?

Después de resolver los puntos c y d ¿A qué conclusión puedes llegar?

Suma y resta en Z:

v 

Para realizar una adición de números enteros hay que tener en cuenta que un signo + delante de un paréntesis hace que los signos que están dentro de él queden igual (sin modificación).
Por ejemplo: a) -2 + ( +3) = -2 + 3 = +1     b) -5 + ( -4 ) = - 5 – 4 = - 9
v 

Ahora bien, si realizamos una resta de números enteros hay que tener en cuenta que un signo – delante de paréntesis hace que cambien los signos que están entre ellos ( modifica el signo del número)
                 Por ejemplo:       a) -2 - ( +3) = - 2 - 3 = +1        b) -5 - ( -4 ) = - 5 + 4 = - 9

Teoría:
-Si tengo un signo + delante de un paréntesis los signos que estén dentro de él quedan igual.
-Si tengo un signo - delante de un paréntesis los signos que estén dentro de él cambian por el inverso (contrario).

Actividad: Resolver las siguientes sumas y restas en Z.

a) - 2 – ( - 3 ) =                                                    h) - 10 + ( - 8 ) =
b) + 9 – ( + 2 ) =                                                   i) 0 + ( - 3 ) =
c) – 5 + ( + 7 ) =                                                   j) + 9 – ( + 9 ) =
d) + 4 – ( - 3 ) =                                                    k) 8 – ( -8 ) =
e) – 6 – ( - 3 ) =                                                    l) 7 – ( 5 ) =
f) – 8 + ( + 8 ) =                                                   m) - 9 – ( + 10 ) =
g) - 8 + ( - 10 ) =                                                  n ) 5 – ( 7 ) =