17 de octubre de 2016

Sistemas de ecuaciones.

Realicemos la siguiente actividad:

En un mismo instante en que un auto rojo sale de una estación de servicio, un auto azul se encuentra a 240km de esa estación circulando por la misma ruta, pero en sentido contrario.

Las funciones que indican a que distancia de la estación de servicio se encuentra cada auto son:

                      Auto rojo: y = 80 x                                             Auto azul: y= - 80 x + 240

                     x= tiempo (en horas)                                              y= distancia (en km)
  • Completa la tabla correspondiente a cada función y represéntalas en un mismo eje cartesiano. Escribe las coordenadas del punto donde se intersecan los autos.
                                                                                 Auto rojo: y = 80 x                     
x (tiempo) y (distancia)
 0

 1

 2


                                                                            Auto azul: y= - 80 x + 240
x (tiempo)                       y (distancia)
 0


 2

Dos ecuaciones de primer grado, con dos incógnitas cada una, determinan un Sistema de Ecuaciones.
La solución del sistema está formada por los valores de x e y que satisfacen las dos ecuaciones simultáneamente.
Un sistema de ecuaciones se representa gráficamente con dos rectas.
En la actividad, la fórmula de cada función es una ecuación y las dos fórmulas forman un sistema de ecuaciones. La solución del sistema es el punto donde los caminos de ambos autos se cruzan, se intersecan.


  • Lee atentamente este problema e intenta resolverlo con los conceptos conocidos.
El precio de la entrada a un espectáculo es de $5 por adulto y de $3 por niño. Ayer asistieron 60 personas y la recaudación fue de $210. ¿Cuántos niños asistieron? 

¿Que sucede? ¿Tienes algún problema?

Veamos, vamos a plantearlo:

Tengo $5 por adulto, puedo plantearlo 5a
Tengo $3 por niño, puedo plantearlo 3n

Bien ¿cuál es la dificultad? si, tengo dos variables distintas, a y n.
Para resolver problemas de este tipo utilizamos los sistemas de ecuaciones lineales con dos incógnitas que tiene varias formas de resolución.
Intenta resolverlo aplicando el gráfico como en la situación anterior.

Teóricamente
Dos ecuaciones de primer grado, con dos incógnitas cada una, determina un sistema de ecuaciones. Ambas ecuaciones se relacionan mediante una llave.
Resolución gráfica.
Si se representan ambas rectas en un mismo eje cartesiano, el punto donde se interceptan es la solución del sistema.
Para poder realizar el gráfico se debe despejar la variable Y de ambas ecuaciones para armar la función que corresponde a la ecuación. Luego realizar una tabla de valores para cada una y graficar.

x
y = 3x-5
0
3.0-5=-5
2
3.2-5=1
3
3.3-5=4

x
y = - x+7
3
-3 + 7=4
4
-4+7=3

La solución del sistema es el punto A(3;4) , lo que significa que x = 3 e y = 4

Actividades:

1) Don Gregorio, un campesino apasionado por la vida silvestre, cría vacas y patos. La manada cuenta con 120 cabezas y 342 patas. ¿Cuántas vacas y patos hay en el campo de Don Gregorio?
                                   
 2) Hallar la solución de los siguientes sistemas de ecuaciones aplicando el método gráfico
Graficador de funciones GeoGebra http://www.geogebra.org/cms/es/  
Ve el siguiente tutorial:

Verifica la resolución de los sistemas anteriores realizando su resolución aplicando el programa GeoGebra.




Bibliografía: Carpeta de Matemática I, Aique. Puerto de Palos. 
Curso virtual sobre ecuaciones plataforma abc