25 de octubre de 2012

Logaritmos


La logaritmación es una operación entre dos números reales a y b, llamados argumento y base respectivamente.
El exponente x al que hay que elevar una base b para obtener un determinado número a se llama “logaritmo” de dicho número en esa base. Es decir:

 
bx  = a entonces  x = log b a
(donde a y b son números reales, b mayor 0, b distinto 1, a mayor o)


Ejemplos:
a)     Log 2 16 = 4 porque 24 = 16        c) 2x = 32 si y solo si x = log2 32 entonces x = 5
b)      Log3  1/9 = -2 porque 3-2 = 1/9    d) log2 x = 3 entonces x = 2entonces x = 8


Actividad:

1) Calcular los siguientes logaritmos cuando sea posible y verificar los resultados aplicando la definición.

           a)      Log4  64 =                                        d)    log4 0,5 =
           b)      Log3  1/9 =                                       e)     log2 (-4) =
           c)       Log6  1 =                                          f)      log7 7 =




Logaritmo decimal. 


Si la base del logaritmo es 10, se llama logaritmo decimal y se puede escribir log, sin indicar la base. Este logaritmo aparece en las calculadoras científicas.

  •  Utilicen la calculadora para calcular los siguientes logaritmos decimales.

a)    Log 9,8 =                                               c) log 980 =

b) Log 98 =                                                 d) log 9800 =

  • Analizar los valores obtenidos y extrae una conclusión.


Propiedades de los Logaritmos.


                      1) Logaritmo de un producto:
                                                                     Log ( b . c ) = log b + log c

                     2) Logaritmo de un cociente:
                                                                     Log a ( b : c ) = log b - log c

                3) Cambio de base:
                                                                     Log b = Log b : Log a
              
                     4) Logaritmo de una potencia:
                                                                     Log a b x   = x . Log b

La propiedad de cambio de base nos permite transformar un logaritmo dado en cierta base en otro logaritmo
expresado en una base que nos convenga, por ejemplo, aquellas que aparecen en las calculadoras científicas.


Ecuaciones logarítmicas. 

Una ecuación es logarítmica cuando la incógnita esta afectada por la logaritmación.
Para resolver ciertas ecuaciones logarítmicas se debe aplicar la definición de dicha operación. Luego de obtener los valores de deben verificar, descartando aquellos que no cumplan con las condiciones de la logaritmación.


Utilizando lo aprendido podemos resolver expresiones que posean una incógnita llamadas ecuaciones logarítmicas.

1) Calcular los siguientes logaritmos.

a)      Log3 9 =                               c)   log7 =                          e)  log49 =
b)      Log125 =                           d)  log0 =                           f)  log 2 =

2)      Hallar la solución.

a)      Log x = 3                                 c)  log3 x = -2                          e)  logx = 4
b)      Logx = 1                                  d)  logx = -1/2                       f)  log x = - 1/2 




Ejemplo de resolución de ecuaciones logarítmicas:

                                     


En algunas ecuaciones se deben aplicar las propiedades de la logaritmación para hallar la solución.

Ejemplo:
                                


En este caso solo verifica la solución positiva  ya que al realizar el reemplazo con el valor negativo el cálculo no tiene solución.






              






Bibliografía: Matemática 1 Aique / Puerto de Palos .