Números Naturales

Números Naturales
Operaciones combinadas en N.

Si hay varias sumas o restas y varias multiplicaciones o divisiones, es necesario separar en términos, siempre de los más o menos a los más o menos fuera de paréntesis.

- Florencia tiene $50 y necesita comprar 4 cuadernos de $5 cada uno, 1 regla de $3 y 3 marcadores de $1 cada uno ¿Con cuánto dinero se quedara luego de pagar?

Expresa la operación y resuelve:
                                                              4 . $5 + 1 . $3 + 3 . $1 =

                                                                  = 20 + 3 + 3 = 26
Rta:

Actividad:

1) Resolver los siguientes problemas planteando el cálculo y planteando la respuesta.

a) Sofía tiene $200 y necesita comprar 2 latas de duraznos de $15 cada una; 1 gaseosa de $20 y 3 kilos de pan de $12 cada uno ¿Le sobrara dinero?

b) Marcos compro 5 paquetes de figuritas a $6 cada una; 7 chocolates a $3 y 4 latas de gaseosas a $7¿Cuánto dinero gasto en total?

2) Separar en términos y resolver las siguientes operaciones combinadas.

a) 2 . 3 +20 : 5 – ( 16 – 14 ) =

b) 26 : 13 – ( 21 : 3 – 6 ) =

c) 24 : 8 + 6 . 8 – ( 24 : 12 ) =

d) 16 : 8 . 3 + 21 : 3 – (17 – 15) =

Propiedad Distributiva. 

La multiplicación cumple con una propiedad llamada DISTRIBUTIVA respecto de la suma o la resta.

Para multiplicar una suma o resta entre paréntesis por un número natura, se puede multiplicar cada término, y después sumar o restar los resultados parciales de las multiplicaciones.

Veamos un ejemplo:

                                      ( 5 + 3 - 2 ) . 4 = 5 . 4 + 3 . 4 – 2 . 4 = 20 + 12 – 8 = 32 – 8 = 24

Debido a que la multiplicación cumple con la propiedad Conmutativa (cambio los factores y no se modifica el resultado), esta operación se puede plantear también de la siguiente manera:

4 . ( 5 + 3 - 2 ) = 4 . 5 + 4 . 3 – 4 . 2 = 20 + 12 – 8 = 32 – 8 = 24

Actividad:
1) Aplicar la propiedad distributiva y conmutativa en cada ejercicio planteado.

a) 5 . ( 18 + 2 ) =                                                           f) 4 . ( 7 – 2 + 3 ) =

b) 3 . ( 100 + 9 ) =                                                        g) 8 . ( 9 + 5 – 3 ) =

c) 7 . ( 20 – 5 ) =                                                           h) 12 . ( 3 + 6 – 5) =

d) 6 . ( 7 – 4 ) =                                                             i) 2 . ( 16 – 4 + 12 ) =

e) 21 . ( 4 – 2 + 5 ) =                                                     j) 9 . ( 7 – 4 + 8 ) =

2) Resolver los siguientes cálculos combinados aplicando propiedad distributiva.

a) 21 : 3 + 2 . ( 5 – 3 ) =

b) 16 – 5 . ( 2 – 3 ) =

c) 28 : 9 . 5 + ( 7 – 5 ) . 3 =

d) 7 . ( 3 + 2 ) – 20 : 4 =

e) 21 : 7 + 2. 4 – 6 . ( 4 – 2 ) =

Potenciación de números naturales (N).

Ø  El exponente indica cuantas veces aparece la base como factor.

Ø  Si el exponente es 2, se lee: al cuadrado.

Ø  Si el exponente es 3, se lee: al cubo.

Ø  Si el exponente es 4, se lee: “a la cuarta”; si es 5, “a la quinta”, y así sucesivamente.

Actividad: Resolver realizando el paso intermedio.

a)       5² =                                                      c) 2⁵ =                                                            e) 3⁴ =

b)      4³ =                                                      d) 1⁷ =                                                             f) 6² =

Tarea: Resolver, comparar y responder.
Si un número esta elevado al exponente cero ¿Cuál es su resultado? Extrae una conclusión.

2⁰ =                                                                                          3⁰ =

2¹ =                                                                                          3¹ =

2² =                                                                                          3² =

2³ =                                                                                          3³ =

2⁴ =                                                                                          3⁴ =

2⁵ =                                                                                         

Potencias especiales:
Si el exponente es 1, la potencia es igual a la base. Si el exponente es 0, la potencia es 1.

7¹ = 7                 25¹ = 25                   348¹ = 348                2⁰ = 1                  9⁰ = 1         76⁰ = 1

Cálculos combinados

Al igual que en cálculos combinados que involucran las operaciones básicas vamos a separar en términos y utilizar propiedades.
Es importante tener presente la columna de cálculos auxiliares que nos permitirán mejor organización y resolución.

                                              

Ejemplo de resolución:         ( 20 : 5 )² – 2 . 3 + 7⁰ =                                (cálculos auxiliares)

                                                      =    ( 4 ) ²   -     6    +  1  =                      

                                                      =     16      -    6     +  1   =    11                

Actividad: Resolver los siguientes cálculos combinados.

a)      ( 2 . 5 )⁰   + 49 : 7 – 2²  =                                                 d)  26 : 13 + 5²  - 7 . 9⁰  =

b)     ( 15 : 5 ) ² + 2³  - 1 =                                                        e)  6⁰  . 3 + ( 16 : 2 ) ⁰ + 3³  =

c)      ( 5 – 3 ) ⁴ – 4²  + 21 : 7 =                                                f)  ( 2² . 18 – 4 ) : 17 =

Tarea:

1) Resolver realizando los pasos intermedios.

a)      6³ =                            d)  2⁴ =                             g) 1⁵ =

b)     7² =                            e)  8³ =                             h)  0⁶ =

c)      5⁰ =                             f)   9² =                            i)  1⁷ =

2)  Resolver las siguientes operaciones.

a)      ( 8 + 4 ) : 2² + 12 . ( 2³ – 5 ) =

b)     1350 : 75 + 6² . 13 – 46 . 10 =

c)      ( 2² . 18 – 4 ) : 17 =

d)     5³ : 5 – ( 16 : 4 ) ² =

e)      ( 2 . 3³ + 4 ) . 2 =

f)       ( 7 – 2² + 18 ) : ( 6 + 1 ) =

g)      4³ + 144 =
                                             

Radicación.

La radicación es la operación inversa de la potenciación. Si 24 = 16, entonces

Otro ejemplo:

Bibliográfica: Matemática 6, Libro para el docente Kapelusz ; Matemática 7, ciencia en foco, Aique; Matemática 7, Fabián Jesé, Nuevas propuestas.

Polinomios.

Factor Común y Propiedad Distributiva de la multiplicación

La siguiente igualdad expresa la propiedad distributiva de la multiplicación respecto de la suma.
Su aplicación en sentido contrario se llama extracción de factor común
 (1° caso de factoreo de polinomios).

Ejemplo: Podemos expresar el área de esta figura de dos maneras distintas.

Ejemplos 1:

Aplicamos propiedad distributiva      2x . (3y – x² ) = 2x . 3y – 2x . x² = 6xy – 2x³

Ejemplo 2:

Aplicamos Factor común                  6xy – 2x³ = 2x . 3y – 2x . x² = 2x . (3y – x² )

Como podemos observar son operaciones inversas.

Actividad: Aplicar Factor Común.

a) 2x² – 6x³ + 12x²y =

b) 21y x + 49 x² y³ =
c) 6x + 4y – 2z =

d) 3x² – 6 x³ =

Factor Común por grupos 

Si no es posible encontrar un factor común único, se puede intentar armar grupos con los distintos términos (2° caso de factoreo de polinomios).

Veamos un ejemplo:

También puede suceder que se encuentre luego de aplicar el factor común por grupos la posibilidad de reiterar el factor común.

Observemos el siguiente ejemplo:

Actividad: Factorear los siguientes polinomios.

a) 2 x ² + 2 x y + z ² x + z ³ =

b) 6 x ² + 3 x y – 2 x y – y ² =

c) 3 y z ²  + 9 y z w + 3 w ² y + w y z =

Potencia de Polinomios.

Potencia de un monomio:

Para resolver la potencia de un monomio, se debe aplicar la propiedad distributiva de la potencia respecto de la multiplicación y la potencia de otra potencia.

Ejemplo:  (-3x³)²  =  (-3)² . (x³)²  = 9 x ⁶

Productos con nombre propio 

Cuadrado de un binomio.

Geometricamente se puede expresar el cuadrado de un binomio como el calculo del área que forman dos cuadros de distinto tamaño y dos rectángulos iguales como se observa en el gráfico de la siguiente forma: 

 (a+b).(a+b) = (a+b)²

El desarrollo de dicha expresión se puede ver como la suma de las áreas de cada figura:

                                                                (a+b)²  = a² + ab+ab+b² = a² + 2ab+b²

                                          Cuadrado de un binomio             Trinomio cuadrado perfecto

 Al elevar al cuadrado un binomio se obtiene un Trinomio cuadrado perfecto.

El pasaje de un trinomio cuadrado perfecto a un cuadrado de un binomio se efectúa aplicando el quinto caso de factoreo de polinomios.

Actividad:

1) Desarrollar los siguientes cuadrado de binomio:
a) ( x + 1 )2 =                        b) ( x – 3 )2 =                  c) ( x + 2 )2 =

2) Reducir las siguientes expresiones:
a) a2+2ab+b2                     b) 4x2+8xy+y2                        c) 36m2–84mn+49n2

3) Colocar V (verdadero) o F(falso) según corresponda:
a) x2+2xy+y2= ( x - y )2                                     c) (4b + 9c)2 = 16b 2+ 36 bc + 81c2

b) (3a – 2b)2= 9a2 -12ab +b2                             d) (7x – 2y)2= 49x2 - 28xy - 4y2

Cubo de un binomio.

Al elevar al cubo un binomio se obtiene un cuatrinomio cubo perfecto. 
El pasaje de un cuatrinomio cubo perfecto a un cubo de un binomio se efectúa aplicando el sexto caso de factoreo de polinomios.

(a+b) . (a+b) . (a+b) = (a+b)³ = a ³+ 3 a ² b + 3 a b ² + b ³

Actividad:

1) Desarrollar los siguientes cubos de binomio.

a) (x–3x)³=                    b)(2y+3 x)³=                  c)(5+2x)³=

2) Reducir las siguientes expresiones:

a) x³ - 9x² + 27x - 27            b) 8³ + 48x² + 96x + 64     c) 27x³ - 108x² + 144x - 64

Bibliográfica: Puerto de Palos / Nueva Carpeta de Matemática Aique/
Vídeos extraídos de you tube 

Rectas Paralelas y Perpendiculares.

Veamos algunas imágenes interesantes:

 

 

 

Vídeo sobre Rectas Paralelas.

Veamos como podemos usar Rectas paralelas siguiendo este enlase:

http://imageneso.blogspot.com.ar/2009/11/lalinea-paralelas-3-view-more.html

Mas imágenes interesantes:

• Observemos que en las siguientes imágenes podemos encontrar perpendiculares al igual que en las imágenes anteriores encontramos paralelas.

          De hecho en muchas de ellas encontramos ambas (paralelas y perpendiculares).

Un poco de teoría.

Veamos el siguiente vídeo: 

Realicen la siguiente actividad:

1. Observa el siguiente plano de la ciudad de Matheu (Pdo. de Escobar).

a) Nombra tres pares de calles que sean paralelas entre si.

b) Traza dos pares de calles que sean perpendiculares entre si.

c) ¿La Av. Nazarre es perpendicular a la ruta 25? ¿Por que?

d) ¿La Av. Nazarre es paralela a la calle Canesi?

Expresiones algebraicas. Polinomios

Expresiones algebraicas. Polinomios.

Una expresión algebraica es una combinación cualquiera y finita de números, de letras, o de números y letras, ligados entre sí con adición, sustracción, multiplicación, división, potenciación y radicación.
Ejemplos:        a) 2x + 3          b)  5x³ + 6x – 1/3          c)  x⁵           d)   - 2/5 x⁴

Los números son los coeficientes, y las letras, las variables o indeterminadas.

En este resumen encontrarás expresiones algebraicas con una sola variable.

Si la variable no está afectada por una raíz o como divisor, las expresiones algebraicas son enteras y se denominan POLINOMIOS.

Como los ejemplos, que son polinomios.

Clasificación de polinomios según su cantidad de términos:

Monomio, si tiene un solo término, como por ejemplo 1/2 x⁵.

Binomio, si tiene dos términos, como por ejemplo x³ + 4

Trinomio, si tiene tres términos, como por ejemplo x – 2/3 + x²

Cuatrinomio, si tiene cuatro términos, como por ejemplo 2x – 1/2 + 3x⁴ - 3/5 x⁷

Características de un polinomio:

•    Los términos que tienen la misma variable y exponente son semejantes como por ejemplo los términos 2x³ y 4/5 x³.
•   Se denomina grado al mayor exponente que tiene la variable de los términos con coeficientes no  nulos de un polinomio. Por ejemplo: P(x) = x⁵ + 7x – 2 es polinomio de grado cinco.     
•   Se llama coeficiente principal al que multiplica a la variable de mayor exponente. Por ejemplo si P(x) = x + 5 x ³ – 2 x⁴  el coeficiente principal es -2. Observación: Al polinomio cuyo coeficiente es 1 se lo llama normalizado.

Polinomios ordenados y completos: 

Un polinomio esta ordenado si sus términos están ordenados en forma creciente o decreciente respecto de los exponentes de la variable.

Por ejemplo si el polinomio esta ordenado de la siguiente forma:

P(x) = 3x⁴ + 1/2 x³ -2/3 x² +1

Un polinomio esta completo cuando tiene todas las potencias decrecientes del grado, como por ejemplo el polinomio 3x⁴ + 1/2 x³ -2/3 x² + 2x -1.

Sin embargo si el polinomio es 3x⁴ + 1/2 x³ -2/3 x² -1 está incompleto porque falta la variable x con exponente 1.

Para completar un polinomio se agregan los términos que faltan con coeficiente cero.
Si completamos el ejemplo anterior donde falta el término x con exponente cero quedaría de la siguiente forma:

3x⁴ + 1/2 x³ -2/3 x² + 0x -1

Actividades:

1) Clasificar de acuerdo a la cantidad de términos e identificar el grado, coeficiente principal y término independiente de cada uno de los siguientes polinomios.

P(x) = 6 + x³ + 3x – x²               Q(x) = 7x³ -2x⁵ + 4              R(x) = – x + 5x²

2)      Ordenar y completar cada uno de los siguientes polinomios.

P(x) = 5 x³ – 1            Q(x) = -27x³ + x⁴ + 2              R(x) = – 2 + 2x³ - x 

Adición y Sustracción de Polinomios.

Para sumar varios polinomios se identifican los términos semejantes y se opera con ellos.

Ej:               P(x) = 2x² + x – 2      y     Q(x) = x² + 1

Realizar : P(x) + Q(x) = 2x² + x – 2 + x² + 1 =

                   P(x) + Q(x) = 3 x² + x - 1

Para realizar una resta se utiliza el polinomio opuesto del sustraendo.

Ej: : P(x) = 2x² + x – 2 y Q(x) = x² + 1

Realizar : P(x) - Q(x) = 2x² + x – 2 - (x² + 1)

                   P(x) - Q(x) = 2x² + x – 2 - x² – 1

                   P(x) - Q(x) = x²  + x – 3

Actividad:

1) Dados los siguientes polinomios:

P(x) = - 2 x ³ + x ² - x + 3      ;     Q(x) = 3 x + 4 + x ³  - 2 x ²       y        R(x) = x ²– 5 x + 2

a) P(x) + Q(x) =                                        c) P(x) + R(x) =

b) P(x) - Q(x) =                                        d) R(x) – P(x) =

2) Dados los siguientes polinomios:

P(x) = x ² – 1            ;                 Q(x) = x ² + 1           y         R(x) = x ² + 2 x + 1

Resolver las siguientes sumas algebraicas.

a) P(x) - Q(x) - R(x) =                        

b) R(x) - Q(x) + P(x) =

• Revisar Propiedad Distributiva y Propiedades de la potenciación.

Producto de Monomios.

Cuando se multiplican dos monomios, el resultado es un monomio. Se debe multiplicar los coeficientes y las indeterminadas entre sí; aplicando regla de signos y propiedad de la potencia.

Ejemplo1: A(x) = 7 x ³   y B(x) = 6 x ¹⁰  A(x) . B(x) = 7 x ³. 6 x ¹⁰ = 7 . 6 . x³ . x ¹⁰ = 42x¹³

Ejemplo2: M(x) = 3x⁴  y N(x) = - 2 x⁵ entonces M(x) . N(x) = 3x⁴ . (- 2 x⁵) = 3 . (-2). x⁴ . x⁵ = -6 x ⁹

Producto de Polinomios.

Cuando se multiplican dos polinomios, el resultado es un polinomio. Su grado es igual a la suma de los grados de los polinomios factores, si estos no son nulos. 

Para multiplicar un polinomio por un número real, se aplica la propiedad Distributiva de la multiplicación respecto de la suma y resta.

Ejemplo: -3 . ( x³ +2x² + x – 4 ) =    -3x³ – 6x² – 1x + 12

Para multiplicar dos polinomios se aplica la propiedad Distributiva, efectuando luego la multiplicación de los monomios y utilizando la propiedad de la potenciación.

Ejemplo:       Dados:  P(x) = 2x² – 5x + 2       y     Q(x) = 3x² - x           Realizar:     P(x) . Q(x) 

P(x) . Q(x) =  (2x² – 5x + 2)  .  (3x² - x )         P(x) . Q(x) =  6x⁴ – 2x³  – 15x³  + 5x²   +  6x²  – 2x

P(x) . Q(x) =    6x⁴ – 17x³ + 11x² – 2x

Actividad: 

1) Resolver las siguientes multiplicaciones.

a)( 2x² ) . ( -6x )        b)1/2  . ( 8x ) =        c)-3 . ( x³ + x²  + ) =        d) (-2x) . ( x² + x - 1/2  ) =

2) Producto de polinomios: Resolver:

a)( x³ – x + 1) . ( x² – x) =               b) (x⁵ – x³ – x + 1) . (x-1) =                  c) (- x+x³ ). (2x – 3x² + 1) =

Actividades de fijación. 

Dados los siguientes Polinomios:         P(x) = x² + 1     ;     Q(x) = x³ + 2x² – 1       y      R(x) = x⁴ + 3

Resolver:         

a) P(x) + Q(x) = b) Q(x) – P(x) =

c) P(x) + R(x) – Q(x) = 

d) Q(x) . R(x) = 

e) R(x) . P(x) =

Operaciones combinadas. 

Las operaciones combinadas con polinomios se resuelven aplicando los mismos procedimientos y propiedades que con números reales.

Ejemplo: Dados:            P(x)= 5x² + 6x + 2        ;       Q(x) = 2x³ – x +6        y        R(x) = x² + 1

Resolver:        P(x) . R(x) + Q(x) =   (5x² + 6x + 2) . (x² + 1) + (2x³ – x +6) =         

                          (5x⁴+5x² +6x³+ 6x+2x²+2) + (2x³ – x +6)  entonces  = 5x⁴+7x²+8x³+5x+8

1) Resolver las siguientes operaciones combinadas dados los polinomios:

P(x) = 2x² + 3x – 1          ;        Q(x) = x + 1           y              R(x) = x³ - 2

Calcular:        

 a) P(x) . R(x) – Q(x) =

 b) P(x) . R(x) – Q(x) =

 d) Q(x) – P(x) . 2 = 

 e) Q(x) – P(x) . 2 =

2) Plantear los resultados ordenados.

Trabajo Práctico 

1) Completar y ordenar los siguientes polinomios. 

a) P(x) = x³ + 1                                 b) Q(x) = x ⁴  - x

2) Reconocer grado del polinomio, coeficiente principal y término independiente. Clasificarlos. 

a) R(x) = x³ - x⁴ + 2x

b) S(x) = x³ + x⁴ - x⁵ - 1

c) H(x) = x² + 3

3) Resolver los siguientes cálculos dados:

                                        P(x) = x² – 1     ;     Q(x) = - x+3      y       R(x) = x³–2x²+2

a) P(x) + Q(x) = 

b) R(x) – P(x) = 

c) P(x) . Q(x) = 

d) R(x) . P(x) = 

e) P(x) – Q(x) – R(x) =

Bibliografía: Carpeta de Matemática Aique 1. Matematica 1 Activa, Puerto de Palos. Cuadernillo de EET Nº1. Matemática 5es Estrada, Huella.